从变量关系到函数图像，从斜率截距到增减性质，从方程求解到实际建模——
本章将以可视化方式打通一次函数的五大核心模块。
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫 常量；可以取不同数值的量叫 变量。
如果在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有 唯一确定 的值与之对应，那么就称 y 是 x 的 函数。
解析法：用数学表达式表示
例：y = 2x + 1
列表法：用表格列出对应值
例：x=1→y=3, x=2→y=5, x=3→y=7
图像法：用坐标系中的曲线/直线表示
例：直角坐标系中的一条直线
自变量的取值要使函数表达式有意义：
常量：2 和 π（圆周率，固定不变）
变量：r（半径）和 C（周长）
当半径 r 变化时，周长 C 也随之变化，C 是 r 的函数。
(1) y = x²：是。每个 x 对应唯一的 y = x²
(2) y² = x：不是。当 x = 4 时，y = ±2，y 不唯一
(3) y = √(x-1)：是。x ≥ 1 时，每个 x 对应唯一非负 y
判断标准："一对一"或"多对一"是函数，"一对多"不是函数。
分式要求：x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2
根式要求：x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
综合得：x ≥ -1 且 x ≠ 2
形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数叫做正比例函数。
正比例函数的图像是经过 原点 (0,0) 的一条直线。
k 决定直线的倾斜程度和方向
|k| 越大，直线越"陡"；|k| 越小，直线越"平"
k > 0：直线从左下往右上，y 随 x 增大而 增大（递增）
经过第一、第三象限
k < 0：直线从左上往右下，y 随 x 增大而 减小（递减）
经过第二、第四象限
拖动滑块观察斜率变化：k>0 绿色上升 / k<0 红色下降 / k=0 水平
(1) y = -3x：是。符合 y = kx 形式，k = -3
(2) y = 2x + 1：不是。多了常数项 +1，这是一次函数
(3) y = x²：不是。x 的次数是 2，是二次函数
∵ 图像经过 (3, -6)，代入 y = kx：
-6 = k × 3 → k = -2
∵ k = -2 < 0
∴ y 随 x 的增大而 减小（递减）
∵ y = kx 经过第二、四象限
∴ k < 0
对于点 (k, k-1)：
横坐标 k < 0，纵坐标 k - 1 < 0 - 1 = -1 < 0
横负纵负 → 点 (k, k-1) 在 第三象限
形如 y = kx + b（k、b 是常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。
当 b = 0 时，y = kx 就是正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特殊情况。
一次函数的图像是一条直线
只需确定两个点即可画出图像
与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = b
交点为 (0, b)，b 叫 y 轴截距
与 x 轴交点：令 y = 0，得 x = -b/k
交点为 (-b/k, 0)
设直线与 x 轴正方向的夹角为 α（0° ≤ α < 180°），则：
α = 0° → k = 0（水平线，不是一次函数）
0° < α < 90° → k > 0（上升直线）
α = 90° → k 不存在（垂直线，不是函数）
90° < α < 180° → k < 0（下降直线）
拖动滑块：k 改变倾斜，b 改变 y 轴交点位置（上下平移）
与 y 轴交点：令 x = 0，y = 3 → (0, 3)
与 x 轴交点：令 y = 0，-2x + 3 = 0 → x = 1.5
交点为 (1.5, 0)
过 (0, 3) 和 (1.5, 0) 画直线即为函数图像。
k = -2 < 0，直线从左上方往右下方倾斜。
将 A(1, 3) 代入：3 = k × 1 + b → k + b = 3 ①
将 B(-1, -1) 代入：-1 = k × (-1) + b → -k + b = -1 ②
① + ②：2b = 2 → b = 1
代入①：k + 1 = 3 → k = 2
∴ 函数表达式为 y = 2x + 1
∵ 倾斜角 α = 45°
∴ k = tan 45° = 1
∵ 与 y 轴交于 (0, -3)
∴ b = -3
∴ 函数表达式为 y = x - 3
对于一次函数 y = kx + b：
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而 增大（函数递增）
图像从左下往右上延伸，呈"上升"趋势
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而 减小（函数递减）
图像从左上往右下延伸，呈"下降"趋势
一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图像经过的象限由 k 和 b 的符号决定：
| k 的符号 | b 的符号 | 经过的象限 |
|---|---|---|
| k > 0 | b > 0 | 一、二、三 |
| k > 0 | b < 0 | 一、三、四 |
| k < 0 | b > 0 | 一、二、四 |
| k < 0 | b < 0 | 二、三、四 |
设两条直线 l₁: y = k₁x + b₁ 和 l₂: y = k₂x + b₂：
∵ y 随 x 增大而增大
∴ 斜率 k = 2m - 1 > 0
2m > 1 → m > 1/2
两直线平行 → 斜率相等
两直线斜率都是 3，已满足平行条件
只需 b ≠ -5 即可保证两条直线不重合
∴ b ≠ -5 的任意实数
已知直线斜率 k₁ = -2
∵ 所求直线与之垂直
∴ k₂ × (-2) = -1 → k₂ = 1/2
设所求直线为 y = (1/2)x + b
过点 (2, 3)：3 = (1/2)×2 + b → 3 = 1 + b
b = 2
∴ 直线方程为 y = (1/2)x + 2
一次函数在实际生活中应用广泛：行程问题、费用计算、温度转换、工程进度等。
路程-时间：匀速运动中 s = vt（正比例）或 s = vt + s₀（一次函数）
s₀ 为初始位置，v 为速度
费用-数量：通话费、水费、出租车费等常含固定费用 + 单价×数量
y = kx + b（b 为起步价/月租，k 为单价）
图像法解方程：方程 kx + b = 0 的解 = 直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标
即 x = -b/k
图像法解不等式：kx + b > 0 的解集 = 直线在 x 轴上方的 x 取值范围
kx + b < 0 → 直线在 x 轴下方的部分
超出里程 = x - 3（千米）
超出费用 = 2(x - 3) = 2x - 6（元）
总费用 y = 起步价 + 超出费用
y = 10 + (2x - 6) = 2x + 4（x ≥ 3）
这是一次函数，k = 2（每千米单价），b = 4
画出 y = 3x - 6 的图像
与 y 轴交点：x = 0 时 y = -6 → (0, -6)
与 x 轴交点：y = 0 时 3x - 6 = 0 → x = 2
∴ 方程 3x - 6 = 0 的解为 x = 2
图像法直观展示了"方程的解 = 直线与 x 轴交点的横坐标"。
令 y₁ = y₂：20x = 10x + 60
10x = 60 → x = 6
∴ 游 6 次时两家费用相同
当 x < 6 时，甲馆更便宜（图像中甲在乙下方）
当 x > 6 时，乙馆更便宜（图像中乙在甲下方）
两条直线的交点 (6, 120) 就是最优决策的分界点。