从多边形的内角和到平行四边形的判定，从矩形菱形正方形的性质到梯形中位线——
本章以构造局的视角，重建四边形的完整几何体系。
由不在同一直线上的若干条线段 首尾顺次相连 组成的封闭图形叫 多边形。
n 边形有 n 条边、n 个顶点、n 个内角。连接不相邻两个顶点的线段叫 对角线。
多边形的每个顶点处，内角 + 外角 = 180°（互为补角）。
n 个顶点共计 n 对内角+外角，总和 = n × 180°。
外角和 = n × 180° - 内角和 = n × 180° - (n-2) × 180° = 360°
设多边形边数为 n，由内角和公式：
(n - 2) × 180° = 1260°
n - 2 = 7
∴ n = 9，这是一个九边形
外角和恒为 360°，每个外角 40°：
边数 n = 360° ÷ 40° = 9
内角和 = (9 - 2) × 180° = 7 × 180° = 1260°
∴ 九边形，内角和 1260°
外角和 = 360°，内角和 = 4 × 360° = 1440°
(n - 2) × 180° = 1440°
n - 2 = 8
∴ n = 10，这是一个十边形
两组对边分别 平行 的四边形叫 平行四边形，记作 □ABCD。
平行四边形是对称中心图形，对角线交点 是它的对称中心。
| 性质 | 几何表达 |
|---|---|
| 对边平行 | AB ∥ CD，AD ∥ BC |
| 对边相等 | AB = CD，AD = BC |
| 对角相等 | ∠A = ∠C，∠B = ∠D |
| 邻角互补 | ∠A + ∠B = 180° |
| 对角线互相平分 | AO = OC，BO = OD |
| 对角线分面积相等 | S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA |
| 编号 | 判定条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 判定 1 | 两组对边分别平行 | 平行四边形 |
| 判定 2 | 两组对边分别相等 | 平行四边形 |
| 判定 3 | 一组对边平行且相等 | 平行四边形 |
| 判定 4 | 两组对角分别相等 | 平行四边形 |
| 判定 5 | 对角线互相平分 | 平行四边形 |
口诀：边边角角线线——五路判定，殊途同归。
平行四边形对角相等：∠C = ∠A = 70°
邻角互补：∠B = 180° - 70° = 110°
对角相等：∠D = ∠B = 110°
∴ ∠B = 110°, ∠C = 70°, ∠D = 110°
对角线互相平分：AO = OC = 5，BO = OD = 8
对边相等：BC = AD = 6
△OBC 周长 = OB + OC + BC = 8 + 5 + 6 = 19
∴ △OBC 周长 = 19
两组对边分别相等 → 四边形 ABCD 是平行四边形（判定 2）
平行四边形对角相等：∠C = ∠A = 80°
∴ ∠C = 80°
定义：有一个角是直角的平行四边形。
| 特有性质 | 几何表达 |
|---|---|
| 四个角都是直角 | ∠A=∠B=∠C=∠D=90° |
| 对角线相等 | AC = BD |
| 对角线交点到四顶点等距 | OA=OB=OC=OD |
判定：(1) 有一个直角的平行四边形；(2) 三个直角的四边形；(3) 对角线相等的平行四边形。
定义：一组邻边相等的平行四边形。
| 特有性质 | 几何表达 |
|---|---|
| 四边相等 | AB = BC = CD = DA |
| 对角线互相垂直 | AC ⊥ BD |
| 对角线平分对角 | ∠1=∠2, ∠3=∠4 |
判定：(1) 邻边相等的平行四边形；(2) 四边相等的四边形；(3) 对角线互相垂直的平行四边形。
定义：既是矩形又是菱形的四边形（有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形）。
| 性质 | 几何表达 |
|---|---|
| 四边相等，四角直角 | AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90° |
| 对角线相等且垂直 | AC=BD，AC⊥BD |
| 对角线平分对角 | 对角线与边成 45° |
| 对称轴 | 4条（2条对角线 + 2条对边中垂线） |
判定：既是矩形又是菱形；或对角线相等且垂直平分的四边形。
矩形对角线相等且互相平分，对角线 = 10
由勾股定理：另一边² + 6² = 10²
另一边² = 100 - 36 = 64
∴ 另一边 = 8
菱形对角线互相垂直平分，半对角线分别为 3 和 x
由勾股定理：3² + x² = 5²，x² = 16，x = 4
另一条对角线 = 2x = 8
面积 = 对角线乘积 / 2 = 6 × 8 / 2 = 24
∴ 对角线 = 8，面积 = 24
设边长为 a，对角线 = a√2 = 4√2
∴ a = 4
周长 = 4a = 16
∴ 边长 4，周长 16
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫 梯形。
平行的两边叫 底（上底、下底），不平行的两边叫 腰。
| 性质 | 几何表达 |
|---|---|
| 两腰相等 | AD = BC |
| 同一底上的角相等 | ∠A = ∠B，∠C = ∠D |
| 对角线相等 | AC = BD |
| 是轴对称图形 | 对称轴：上下底中垂线 |
判定：同一底上两角相等的梯形；或对角线相等的梯形。
连接梯形 两腰中点 的线段叫 中位线。
过 A、D 作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为 E、F
EF = AD = 4，BE = FC = (10-4)/2 = 3
在 Rt△ABE 中，∠B = 60°，cos60° = BE/AB = 3/AB
AB = 3 / cos60° = 3 / 0.5 = 6
∴ 腰长 = 6
设上底为 a，下底为 b
中位线： (a + b) / 2 = 8 → a + b = 16
已知：b - a = 6
联立：2b = 22，b = 11，a = 5
∴ 上底 = 5，下底 = 11
中位线 = (3 + 7) / 2 = 5
面积 = (上底 + 下底) × 高 / 2 = (3 + 7) × 4 / 2 = 20
∴ 中位线 = 5，面积 = 20
证明四边形类型的 思维路径：
动点问题本质：用 参数 t 表示运动时间/距离，建立代数关系。
| 图形 | 面积公式 | 关键要素 |
|---|---|---|
| 平行四边形 | S = 底 × 高 | 任取一边为底 |
| 矩形 | S = 长 × 宽 | 两邻边乘积 |
| 菱形 | S = d₁ × d₂ / 2 | 对角线互相垂直 |
| 正方形 | S = a² = d²/2 | 边长或对角线 |
| 梯形 | S = (a+b)h/2 | 中位线×高 |
∵ D、F 分别是 AB、AC 中点
∴ DF 是 △ABC 中位线，DF ∥ BC 且 DF = BC/2
∵ E 是 BC 中点，∴ DE 是 △ABC 中位线，DE ∥ AC 且 DE = AC/2
∴ 在 四边形 ADEF 中，DE ∥ AF，DF ∥ AE
∴ ADEF 是平行四边形（两组对边分别平行）
设运动时间为 t 秒
AP = t，PB = 6 - t，BQ = 2t，QC = 8 - 2t
APQC 为平行四边形需 AP ∥ QC 且 AP = QC
AP ∥ QC 恒成立（都在直线上）
令 AP = QC：t = 8 - 2t，3t = 8，t = 8/3
检验：Q 在 BC 上，0 ≤ 2t ≤ 8，t ≤ 4，8/3 ≈ 2.67 满足
∴ t = 8/3 秒（约 2.67 秒）时 APQC 为平行四边形
∵ AB ∥ CD，∴ ∠DEA = ∠EAB（内错角）
∵ AE 平分 ∠DAB，∴ ∠DAE = ∠EAB
∴ ∠DAE = ∠DEA，△ADE 等腰，AD = DE
同理 BC = CF
∵ AD = BC（平行四边形），∴ DE = CF
∴ EF = CD - DE - CF = AB - AD - BC（需补充条件使 EF ∥ AB）
∴ AB ∥ EF 且 AE = BF，ABFE 是等腰梯形