MOD-01
分式的概念与性质 Rational Expression
分式情报科 · 基础级▌ 理论档案
分式定义：形如 A / B 的式子，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母（B ≠ 0）。A 叫做分子，B 叫做分母。
分式有意义的条件：分母 B ≠ 0
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或同除）一个不等于零的整式，分式的值不变。
A/B = (A×M)/(B×M) = (A÷M)/(B÷M) (M ≠ 0)注意：π 是常数不是字母，因此含 π 的式子如 3/π 是整式而非分式。
▌ 分式结构动态拆解
(x+1) / (2x-3)
→
x+1
÷
2x-3
→
分子 · 分母
2x-3
→
2x-3 ≠ 0
→
x ≠ 3/2
2/(3x)
→
同乘 2x
→
(2·2x) / (3x·2x)
=
4x / (6x²)
例题 1-A
识别分式
判断下列各式，哪些是分式？
(1) 3/x (2) (x+1)/2 (3) 2/(x-1) (4) π/3
(1) 3/x (2) (x+1)/2 (3) 2/(x-1) (4) π/3
▶ 解析
分式的关键：分母中含有字母。
(1) 3/x：分母含 x → 是分式
(2) (x+1)/2：分母是常数 2 → 不是分式（是整式）
(3) 2/(x-1)：分母含 x → 是分式
(4) π/3：分母是常数 3，π 也是常数 → 不是分式
(1) 3/x：分母含 x → 是分式
(2) (x+1)/2：分母是常数 2 → 不是分式（是整式）
(3) 2/(x-1)：分母含 x → 是分式
(4) π/3：分母是常数 3，π 也是常数 → 不是分式
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例题 1-B
分式有意义的条件
求下列分式有意义时 x 的取值范围：
(1) (x-2)/(x+3) (2) 1/(x²-4)
(1) (x-2)/(x+3) (2) 1/(x²-4)
▶ 解析
分式有意义的条件：分母 ≠ 0
(1) x+3 ≠ 0 → x ≠ -3
(2) x²-4 ≠ 0 → (x+2)(x-2) ≠ 0 → x ≠ -2 且 x ≠ 2
(1) x+3 ≠ 0 → x ≠ -3
(2) x²-4 ≠ 0 → (x+2)(x-2) ≠ 0 → x ≠ -2 且 x ≠ 2
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例题 1-C
利用基本性质填空
在括号内填入适当的整式，使等式成立：
(1) 2/(3x) = ( )/(6x²)
(2) (x+1)/(x-2) = ( )/[(x-2)(x+3)]
(1) 2/(3x) = ( )/(6x²)
(2) (x+1)/(x-2) = ( )/[(x-2)(x+3)]
▶ 解析
利用基本性质：分子分母同乘（或同除）同一个不为零的整式。
(1) 分母 3x → 6x²，乘了 2x
分子也要乘 2x：2 × 2x = 4x
(2) 分母 (x-2) → (x-2)(x+3)，乘了 (x+3)
分子也要乘 (x+3)：(x+1)(x+3) = x²+4x+3
(1) 分母 3x → 6x²，乘了 2x
分子也要乘 2x：2 × 2x = 4x
(2) 分母 (x-2) → (x-2)(x+3)，乘了 (x+3)
分子也要乘 (x+3)：(x+1)(x+3) = x²+4x+3
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Q1. 下列哪个是分式？
Q2. 分式 1/(x-1) 有意义的条件是？
Q3. 若 3/(2x) = ( )/(4x²)，括号内应填？
▌ 公式档案 [分式的概念与性质]
分式定义
A/B （B 含字母，B≠0）
有意义条件
分母 ≠ 0
基本性质
A/B = (A×M)/(B×M) = (A÷M)/(B÷M)
关键区分
π 是常数，不是字母
MOD-02
分式的乘除 Multiply & Divide
分式情报科 · 运算级▌ 理论档案
乘法法则：两个分式相乘，分子乘分子，分母乘分母。
(a/b) × (c/d) = (a·c)/(b·d)除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数。
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a·d)/(b·c)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的结果应为最简分式（分子分母没有公因式）。
运算策略：能约分的先约分，再相乘，可减少计算量。
▌ 乘除运算动态演示
(2/a) × (a/4)
→
(2·a)/(a·4)
→
约去 a
=
1/2
(3/x) ÷ (6/x²)
→
(3/x) × (x²/6)
→
(3·x²)/(x·6)
=
x/2
(x²-1)/(x+2)
×
(x+2)/(x-1)
→
因式分解 (x+1)(x-1)
→
约去 (x+2)、(x-1)
=
x+1
例题 2-A
分式乘法
计算：(3x/y) × (y²/6x)
▶ 解析
分子相乘：3x · y² = 3xy²
分母相乘：y · 6x = 6xy
结果：(3xy²)/(6xy)
约分：分子分母同除以 3xy
= y/2
分母相乘：y · 6x = 6xy
结果：(3xy²)/(6xy)
约分：分子分母同除以 3xy
= y/2
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例题 2-B
分式除法
计算：(a²/b) ÷ (a/b²)
▶ 解析
除以一个分式 = 乘它的倒数
(a²/b) ÷ (a/b²) = (a²/b) × (b²/a)
分子：a² · b² = a²b²
分母：b · a = ab
约分：同除以 ab
= ab
(a²/b) ÷ (a/b²) = (a²/b) × (b²/a)
分子：a² · b² = a²b²
分母：b · a = ab
约分：同除以 ab
= ab
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例题 2-C
先因式分解再约分
计算：(x²-1)/(x+2) × (x+2)/(x-1)
▶ 解析
第一步：因式分解分子 x²-1 = (x+1)(x-1)
原式 = [(x+1)(x-1)]/(x+2) × (x+2)/(x-1)
第二步：约去公因式 (x+2) 和 (x-1)
= x+1
原式 = [(x+1)(x-1)]/(x+2) × (x+2)/(x-1)
第二步：约去公因式 (x+2) 和 (x-1)
= x+1
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Q4. 计算 (2/a) × (a/4) = ?
Q5. 计算 (3/x) ÷ (6/x²) = ?
Q6. (x²-4)/(x+3) × 1/(x-2)，其中 x=3 时的值是？
▌ 公式档案 [分式的乘除]
乘法
(a/b) × (c/d) = ac/bd
除法
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/bc
约分
先因式分解，再约去公因式
运算策略
先约分，再相乘
MOD-03
分式的加减 Add & Subtract
分式情报科 · 运算级▌ 理论档案
同分母分式加减：分母不变，分子相加减。
a/c ± b/c = (a±b)/c异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再加减。
a/b ± c/d = (ad±bc)/(bd)通分：把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母分式。
最简公分母（LCD）= 各分母系数的最小公倍数 × 各字母因式的最高次幂。
注意：结果必须化为最简分式。
▌ 加减运算动态演示
(3/x) + (5/x)
→
分母不变 x
→
(3+5)/x
=
8/x
(1/2x) + (1/3x)
→
LCD = 6x
→
(3/6x) + (2/6x)
=
5/(6x)
x/(x-1) - 1/(x+1)
→
LCD = (x-1)(x+1)
→
[x(x+1)-(x-1)]/[(x-1)(x+1)]
=
(x²+1)/(x²-1)
例题 3-A
同分母分式相加
计算：(3/x) + (5/x) - (2/x)
▶ 解析
分母都是 x，保持不变。
分子相加减：3 + 5 - 2 = 6
结果：6/x
分子相加减：3 + 5 - 2 = 6
结果：6/x
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例题 3-B
异分母分式相加
计算：(1/2x) + (1/3x)
▶ 解析
第一步：找最简公分母 LCD
2x 和 3x 的 LCD = 6x
第二步：通分
1/2x = (1×3)/(2x×3) = 3/6x
1/3x = (1×2)/(3x×2) = 2/6x
第三步：相加
3/6x + 2/6x = 5/(6x)
2x 和 3x 的 LCD = 6x
第二步：通分
1/2x = (1×3)/(2x×3) = 3/6x
1/3x = (1×2)/(3x×2) = 2/6x
第三步：相加
3/6x + 2/6x = 5/(6x)
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例题 3-C
含多项式分母的加减
计算：x/(x-1) - 1/(x+1)
▶ 解析
第一步：找 LCD = (x-1)(x+1) = x²-1
第二步：通分
x/(x-1) = [x(x+1)]/[(x-1)(x+1)] = (x²+x)/(x²-1)
1/(x+1) = [(x-1)]/[(x+1)(x-1)] = (x-1)/(x²-1)
第三步：相减
(x²+x)/(x²-1) - (x-1)/(x²-1) = [x²+x-(x-1)]/(x²-1)
= (x²+x-x+1)/(x²-1) = (x²+1)/(x²-1)
第二步：通分
x/(x-1) = [x(x+1)]/[(x-1)(x+1)] = (x²+x)/(x²-1)
1/(x+1) = [(x-1)]/[(x+1)(x-1)] = (x-1)/(x²-1)
第三步：相减
(x²+x)/(x²-1) - (x-1)/(x²-1) = [x²+x-(x-1)]/(x²-1)
= (x²+x-x+1)/(x²-1) = (x²+1)/(x²-1)
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Q7. (2/a) + (3/a) = ?
Q8. (1/2b) + (1/3b) = ?
Q9. 2/(x+1) + 2/(x-1) = ?
▌ 公式档案 [分式的加减]
同分母
a/c ± b/c = (a±b)/c
异分母
先通分，再按同分母计算
通分核心
找最简公分母 LCD
结果要求
化为最简分式
MOD-04
分式方程 Fractional Equation
分式情报科 · 方程级▌ 理论档案
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解题步骤：
- Step 1 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程
- Step 2 解整式方程：按一元一次/二次方程求解
- Step 3 检验：将解代入最简公分母，若分母≠0则是原方程的解；若分母=0则是增根，原方程无解
增根：去分母过程中产生的使原分母为零的根。分式方程必须检验！
▌ 解分式方程动态流程
3/(x-1) = 2
→
两边乘 (x-1)
→
3 = 2(x-1)
3 = 2x-2
→
2x = 5
→
x = 5/2
检验：x=5/2
→
x-1 = 3/2 ≠ 0
→
√ 是原方程的解
例题 4-A
基础分式方程
解方程：3/(x-1) = 2/(x+1)
▶ 解析
第一步：去分母，两边同乘 (x-1)(x+1)
3(x+1) = 2(x-1)
第二步：展开
3x + 3 = 2x - 2
第三步：移项求解
3x - 2x = -2 - 3
x = -5
第四步：检验
x = -5 时，(x-1)(x+1) = (-6)(-4) = 24 ≠ 0
∴ x = -5 是原方程的解。
3(x+1) = 2(x-1)
第二步：展开
3x + 3 = 2x - 2
第三步：移项求解
3x - 2x = -2 - 3
x = -5
第四步：检验
x = -5 时，(x-1)(x+1) = (-6)(-4) = 24 ≠ 0
∴ x = -5 是原方程的解。
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例题 4-B
含整式项的分式方程
解方程：x/(x-2) + 1 = 2/(x-2)
▶ 解析
第一步：去分母，两边同乘 (x-2)
x + (x-2) = 2
第二步：化简
x + x - 2 = 2
2x = 4
x = 2
第三步：检验（关键！）
x = 2 时，分母 x-2 = 0
∴ x = 2 是增根，原方程无解。
x + (x-2) = 2
第二步：化简
x + x - 2 = 2
2x = 4
x = 2
第三步：检验（关键！）
x = 2 时，分母 x-2 = 0
∴ x = 2 是增根，原方程无解。
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例题 4-C
判断增根
若关于 x 的方程 m/(x-2) + 3 = (x-1)/(x-2) 有增根，求 m 的值。
▶ 解析
增根使分母为零，即 x-2 = 0 → x = 2
去分母：m + 3(x-2) = x-1
增根 x=2 也应满足去分母后的整式方程：
m + 3(2-2) = 2-1
m + 0 = 1
∴ m = 1
去分母：m + 3(x-2) = x-1
增根 x=2 也应满足去分母后的整式方程：
m + 3(2-2) = 2-1
m + 0 = 1
∴ m = 1
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Q10. 解 2/x = 1，x = ?
Q11. 解分式方程后必须进行哪一步？
Q12. 方程 1/(x-2) = 2 的解是？
▌ 公式档案 [分式方程]
Step 1
去分母：两边同乘最简公分母
Step 2
解整式方程
Step 3
检验：代入公分母，≠0为解，=0为增根
核心警示
分式方程必须检验！
MOD-05
分式应用题 Application Problems
分式情报科 · 实战级▌ 理论档案
行程问题：路程 = 速度 × 时间，即 s = v·t。
核心关系：时间 = 路程/速度，速度 = 路程/时间。
工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。
通常设工作总量为 1，则效率 = 1/时间。
浓度问题：浓度 = 溶质质量 / 溶液质量 × 100%。
加水稀释：溶质不变；蒸发浓缩：溶质不变。
解题策略：设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验 → 作答。
▌ 应用题建模动态演示
行程问题
→
设速度 x km/h
→
时间 = 180/x
工程问题
→
设甲需 x 天
→
甲效率 = 1/x
浓度问题
→
溶质 = 200×30% = 60g
→
60/(200+x) = 20%
例题 5-A
行程问题
甲、乙两地相距 180 km。A 车的速度为 x km/h，B 车的速度是 A 车的 1.5 倍。A 车从甲地到乙地比 B 车多用 1 小时，求两车的速度。
▶ 解析
设 A 车速度为 x km/h，则 B 车速度为 1.5x km/h。
A 车时间：180/x 小时
B 车时间：180/(1.5x) = 120/x 小时
等量关系：A 车时间 - B 车时间 = 1
180/x - 120/x = 1
60/x = 1
x = 60
检验：x=60 时各分母 ≠ 0，符合题意。
∴ A 车速度 60 km/h，B 车速度 90 km/h。
A 车时间：180/x 小时
B 车时间：180/(1.5x) = 120/x 小时
等量关系：A 车时间 - B 车时间 = 1
180/x - 120/x = 1
60/x = 1
x = 60
检验：x=60 时各分母 ≠ 0，符合题意。
∴ A 车速度 60 km/h，B 车速度 90 km/h。
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例题 5-B
工程问题
甲工程队单独完成一项工程需要 x 天，乙工程队单独完成需要 (x+3) 天。两队合作 2 天完成了工程的一半，求各自单独完成所需天数。
▶ 解析
甲效率 = 1/x，乙效率 = 1/(x+3)
合作 2 天完成一半：
2 × [1/x + 1/(x+3)] = 1/2
去括号：2/x + 2/(x+3) = 1/2
去分母，两边同乘 2x(x+3)：
4(x+3) + 4x = x(x+3)
4x + 12 + 4x = x² + 3x
x² - 5x - 12 = 0
因式分解：(x-6)(x+2) = 0
x = 6 或 x = -2（舍去负值）
检验：x=6 时分母不为零，符合题意。
∴ 甲需 6 天，乙需 9 天。
合作 2 天完成一半：
2 × [1/x + 1/(x+3)] = 1/2
去括号：2/x + 2/(x+3) = 1/2
去分母，两边同乘 2x(x+3)：
4(x+3) + 4x = x(x+3)
4x + 12 + 4x = x² + 3x
x² - 5x - 12 = 0
因式分解：(x-6)(x+2) = 0
x = 6 或 x = -2（舍去负值）
检验：x=6 时分母不为零，符合题意。
∴ 甲需 6 天，乙需 9 天。
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例题 5-C
浓度问题
现有 30% 的糖水 200 g，需要加入多少克水，才能使其浓度变为 20%？
▶ 解析
加水稀释，糖的质量不变。
原有糖：200 × 30% = 60 g
设加水 x g，则新溶液质量 = (200+x) g
列方程：60/(200+x) = 20%
60/(200+x) = 1/5
200 + x = 300
x = 100
检验：x=100 时分母不为零，符合实际。
∴ 需加水 100 g。
原有糖：200 × 30% = 60 g
设加水 x g，则新溶液质量 = (200+x) g
列方程：60/(200+x) = 20%
60/(200+x) = 1/5
200 + x = 300
x = 100
检验：x=100 时分母不为零，符合实际。
∴ 需加水 100 g。
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Q13. 行程问题中，时间 = 路程 ÷ ？
Q14. 工程问题，甲单独 6 天完成，每天完成总量的？
Q15. 200 g 10% 盐水蒸发后成 20%，剩多少克？
▌ 公式档案 [分式应用题]
行程问题
t = s/v，v = s/t
工程问题
效率 = 1/时间，合作效率相加
浓度问题
浓度 = 溶质/溶液 × 100%
解题流程
设 → 列 → 解 → 验 → 答
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