MOD-01
同底数幂的乘法 Multiplication
幂运算科 · 基础级▌ 理论档案
定义：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
- 适用条件：底数必须相同（a 相同）
- 运算本质：m 个 a 连乘 × n 个 a 连乘 = (m+n) 个 a 连乘
- 法则可推广到多个同底数幂相乘：a^m · a^n · a^p = a^(m+n+p)
▌ 指数增长可视化：2^n 的爆炸
2³ = 8
3个2相乘
×
同底数相乘
2² = 4
2个2相乘
=
指数相加
2⁵ = 32
5个2相乘
理解方式：
a³ = a·a·a
×
a² = a·a
=
a·a·a·a·a = a⁵
（3+2=5个a连乘）
例题 1-A
基础运算
▼
计算：x⁵ · x³
▶ 解析
同底数幂相乘，底数 x 不变，指数相加：5 + 3 = 8。
∴ x⁵ · x³ = x⁸
∴ x⁵ · x³ = x⁸
例题 1-B
多项连乘
▼
计算：(-2)⁴ · (-2)³ · (-2)²
▶ 解析
底数都是 (-2)，指数相加：4 + 3 + 2 = 9。
∴ 原式 = (-2)⁹ = -512
注意：负数的奇次幂为负
∴ 原式 = (-2)⁹ = -512
注意：负数的奇次幂为负
例题 1-C
化简求值
▼
若 3^m = 5，3^n = 7，求 3^(m+n) 的值。
▶ 解析
逆用同底数幂乘法法则：3^(m+n) = 3^m · 3^n。
代入已知：3^m · 3^n = 5 × 7 = 35
代入已知：3^m · 3^n = 5 × 7 = 35
Q1. a⁴ · a⁵ = ?
Q2. 2³ · 2⁴ · 2 = ?
Q3. 若 2^x = 3，2^y = 5，则 2^(x+y) = ?
▌ 公式档案 [同底数幂乘法]
核心法则
a^m · a^n = a^(m+n)
多项推广
a^m · a^n · a^p = a^(m+n+p)
逆用法则
a^(m+n) = a^m · a^n
MOD-02
幂的乘方 Power of Power
幂运算科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
- 运算本质：(a^m)^n 表示 n 个 a^m 相乘
- 每个 a^m 含 m 个 a，n 个相乘共 m×n 个 a
- 与同底数幂乘法的关系：(a²)³ = a²·a²·a² = a^(2+2+2) = a⁶
▌ 指数增长可视化：幂的乘方 = 指数相乘
(a²)³
幂的乘方
=
展开理解
a²·a²·a²
3个a²相乘
= a⁶
指数2×3=6
理解方式：
(a³)²
=
a³ · a³
=
a^(3+3)
=
a⁶ = a^(3×2)
（指数相乘）
例题 2-A
基础运算
▼
计算：(x⁴)³
▶ 解析
幂的乘方，底数 x 不变，指数相乘：4 × 3 = 12。
∴ (x⁴)³ = x¹²
∴ (x⁴)³ = x¹²
例题 2-B
含负号的幂的乘方
▼
计算：(-x³)⁴ 和 (-x³)⁵
▶ 解析
(-x³)⁴ = (-1)⁴ · (x³)⁴ = 1 · x^(3×4) = x¹²（偶次幂为正）
(-x³)⁵ = (-1)⁵ · (x³)⁵ = -1 · x^(3×5) = -x¹⁵（奇次幂为负）
(-x³)⁵ = (-1)⁵ · (x³)⁵ = -1 · x^(3×5) = -x¹⁵（奇次幂为负）
例题 2-C
复合运算
▼
计算：(a²)³ · (a³)²
▶ 解析
第一步：分别计算幂的乘方
(a²)³ = a^(2×3) = a⁶，(a³)² = a^(3×2) = a⁶
第二步：同底数幂相乘
a⁶ · a⁶ = a^(6+6) = a¹²
(a²)³ = a^(2×3) = a⁶，(a³)² = a^(3×2) = a⁶
第二步：同底数幂相乘
a⁶ · a⁶ = a^(6+6) = a¹²
Q1. (x⁵)² = ?
Q2. (a³)⁴ · a² = ?
Q3. 若 (2^m)³ = 2¹²，则 m = ?
▌ 公式档案 [幂的乘方]
核心法则
(a^m)^n = a^(mn)
展开理解
(a^m)^n = a^m·a^m·...·a^m （n个）
逆用法则
a^(mn) = (a^m)^n = (a^n)^m
MOD-03
积的乘方 Power of Product
幂运算科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
- 运算本质：(ab)^n = (ab)·(ab)·...·(ab)（n个），展开后 a 有 n 个，b 有 n 个
- 可推广到多个因式：(abc)^n = a^n · b^n · c^n
- 常与幂的乘方、同底数幂乘法混合使用
▌ 粒子扩散可视化：积的乘方 = 每个因式分别乘方
a
b
⇒
(ab)³ = a³·b³
3个a × 3个b
理解方式：
(ab)³
=
(ab)·(ab)·(ab)
=
(a·a·a)·(b·b·b)
=
a³ · b³
（乘法交换律重排）
例题 3-A
基础运算
▼
计算：(3x)⁴
▶ 解析
积的乘方：3⁴ · x⁴ = 81 · x⁴ = 81x⁴
例题 3-B
多因式积的乘方
▼
计算：(-2x²y)³
▶ 解析
分别对每个因式乘方：
(-2)³ = -8，(x²)³ = x⁶，y³ = y³
∴ 原式 = -8 · x⁶ · y³ = -8x⁶y³
注意：系数、每个字母的指数都要乘外面的指数3
(-2)³ = -8，(x²)³ = x⁶，y³ = y³
∴ 原式 = -8 · x⁶ · y³ = -8x⁶y³
注意：系数、每个字母的指数都要乘外面的指数3
例题 3-C
逆用积的乘方
▼
简便计算：2²⁰²⁴ × (1/2)²⁰²⁴
▶ 解析
逆用积的乘方：a^n · b^n = (ab)^n
2²⁰²⁴ × (1/2)²⁰²⁴ = (2 × 1/2)²⁰²⁴ = 1²⁰²⁴ = 1
2²⁰²⁴ × (1/2)²⁰²⁴ = (2 × 1/2)²⁰²⁴ = 1²⁰²⁴ = 1
Q1. (2xy)³ = ?
Q2. (-3a²)² = ?
Q3. 5¹⁰ × 2¹⁰ = ?
▌ 公式档案 [积的乘方]
核心法则
(ab)^n = a^n · b^n
多因式推广
(abc)^n = a^n · b^n · c^n
逆用法则
a^n · b^n = (ab)^n
MOD-04
同底数幂的除法 Division
幂运算科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
- 适用条件：底数相同（a 相同），且 a ≠ 0
- 指数条件：m > n（正整数范围内）；若 m = n，则 a⁰ = 1（a ≠ 0）
- 运算本质：m 个 a 连乘 ÷ n 个 a 连乘，约去 n 个，剩 (m-n) 个
▌ 指数递减可视化：除法 = 指数相减
2⁵ = 32
被除数
÷ 2²
除以
= 2³ = 8
5-2=3
理解方式：
a⁵ ÷ a²
=
(a·a·a·a·a)/(a·a)
=
a·a·a = a³
（约去2个a，剩3个）
零指数幂：a⁰ = 1（a ≠ 0）
a^m ÷ a^m
=
a^(m-m) = a⁰
=
1
（任何非零数的0次幂等于1）
例题 4-A
基础运算
▼
计算：x⁷ ÷ x⁴
▶ 解析
同底数幂相除，底数 x 不变，指数相减：7 - 4 = 3。
∴ x⁷ ÷ x⁴ = x³
∴ x⁷ ÷ x⁴ = x³
例题 4-B
含系数的除法
▼
计算：(-3)⁵ ÷ (-3)³
▶ 解析
底数都是 (-3)，指数相减：5 - 3 = 2。
∴ 原式 = (-3)² = 9
注意：负数的偶次幂为正
∴ 原式 = (-3)² = 9
注意：负数的偶次幂为正
例题 4-C
化简求值
▼
若 5^m = 8，5^n = 2，求 5^(m-n) 的值。
▶ 解析
逆用同底数幂除法法则：5^(m-n) = 5^m ÷ 5^n。
代入已知：5^m ÷ 5^n = 8 ÷ 2 = 4
代入已知：5^m ÷ 5^n = 8 ÷ 2 = 4
Q1. a⁸ ÷ a³ = ?
Q2. (-2)⁶ ÷ (-2)⁴ = ?
Q3. 若 3^a = 10，3^b = 2，则 3^(a-b) = ?
▌ 公式档案 [同底数幂除法]
核心法则
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
零指数幂
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
逆用法则
a^(m-n) = a^m ÷ a^n
MOD-05
整式的乘法 Polynomial Multiplication
幂运算科 · 高级▌ 理论档案
整式乘法是幂运算法则的综合应用，分为三种类型：
- 类型一：单项式 × 单项式 — 系数相乘，同底数幂相乘，不同字母照写
- 类型二：单项式 × 多项式 — 分配律：m(a+b+c) = ma + mb + mc
- 类型三：多项式 × 多项式 — 逐项相乘再合并：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
▌ 乘法类型矩阵：从简单到复杂
类型一
单项式 × 单项式
3x²y · 2xy³ = 6x³y⁴
类型二
单项式 × 多项式
2x(x+3) = 2x²+6x
类型三
多项式 × 多项式
(x+2)(x+3)=x²+5x+6
例题 5-A
单项式 × 单项式
▼
计算：(-2x³y²) · (3x²y⁴z)
▶ 解析
第一步：系数相乘 — (-2) × 3 = -6
第二步：同底数幂相乘 — x³·x² = x⁵，y²·y⁴ = y⁶
第三步：不同字母照写 — z
∴ 原式 = -6x⁵y⁶z
第二步：同底数幂相乘 — x³·x² = x⁵，y²·y⁴ = y⁶
第三步：不同字母照写 — z
∴ 原式 = -6x⁵y⁶z
例题 5-B
单项式 × 多项式
▼
计算：3a²(2a² - 5a + 1)
▶ 解析
运用分配律，单项式分别乘以多项式的每一项：
3a² · 2a² = 6a⁴
3a² · (-5a) = -15a³
3a² · 1 = 3a²
∴ 原式 = 6a⁴ - 15a³ + 3a²
3a² · 2a² = 6a⁴
3a² · (-5a) = -15a³
3a² · 1 = 3a²
∴ 原式 = 6a⁴ - 15a³ + 3a²
例题 5-C
多项式 × 多项式
▼
计算：(2x + 3)(x² - 2x + 1)
▶ 解析
逐项相乘：
2x · x² = 2x³
2x · (-2x) = -4x²
2x · 1 = 2x
3 · x² = 3x²
3 · (-2x) = -6x
3 · 1 = 3
合并同类项：2x³ + (-4x²+3x²) + (2x-6x) + 3
∴ 原式 = 2x³ - x² - 4x + 3
2x · x² = 2x³
2x · (-2x) = -4x²
2x · 1 = 2x
3 · x² = 3x²
3 · (-2x) = -6x
3 · 1 = 3
合并同类项：2x³ + (-4x²+3x²) + (2x-6x) + 3
∴ 原式 = 2x³ - x² - 4x + 3
Q1. (-3a²b) · (2ab³) = ?
Q2. 2x(3x - 1) = ?
Q3. (x + 2)(x + 3) = ?
▌ 公式档案 [整式的乘法]
单项式×单项式
系数×系数 · 同底数幂相乘 · 其余照写
单项式×多项式
m(a+b+c) = ma+mb+mc
多项式×多项式
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
← 上一单元
下一章：因式分解 →