MOD-01
提公因式法 Common Factor
因式分解科 · 基础级▌ 理论档案
定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式。
- 公因式：多项式各项都含有的公共的因式
- 确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母；指数取最低次幂
- 提取公因式后，括号内项数与原多项式项数相同
理解方式：把公共部分"提"出来，相当于分配律的逆运算。
6x² + 9x
→
找公因式
→
系数GCD=3，字母x最低次=1
→
3x(2x + 3)
例题 1-A
基础提公因式
▼
分解因式：8a³b² - 12a²b³
▶ 解析
系数GCD：8和12的最大公约数是4
字母公因式：a²b²（a取最低次2，b取最低次2）
∴ 原式 = 4a²b²(2a - 3b)
字母公因式：a²b²（a取最低次2，b取最低次2）
∴ 原式 = 4a²b²(2a - 3b)
例题 1-B
多项提公因式
▼
分解因式：3x(y-2) + 5(y-2)
▶ 解析
公因式为(y-2)，把它看作一个整体
∴ 原式 = (y-2)(3x + 5)
∴ 原式 = (y-2)(3x + 5)
例题 1-C
符号变形
▼
分解因式：-a² + ab - ac
▶ 解析
首项为负，先提取负号：
原式 = -(a² - ab + ac) = -a(a - b + c)
注意：提取负号后括号内各项要变号
原式 = -(a² - ab + ac) = -a(a - b + c)
注意：提取负号后括号内各项要变号
Q1. 分解因式：6x² + 9x = ?
Q2. 分解因式：4a²b - 6ab² = ?
Q3. 分解因式：m(a-b) + n(a-b) = ?
▌ 公式档案 [提公因式法]
核心法则
ma + mb + mc = m(a+b+c)
整体公因式
ma+mb = m(a+b)
首项为负
-a+b = -(a-b)
MOD-02
平方差公式 Difference of Squares
因式分解科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
- 适用条件：必须是两个平方项的差（即"减号"连接）
- 结构特征：两项式，每项都是完全平方，符号相反
- 公式中的a、b可以是数、字母、单项式或多项式
正向
a² - b²
↓
(a+b)(a-b)
↓
(a+b)(a-b)
逆向
(a+b)(a-b)
↓
a² - b²
↓
a² - b²
常见变形
(a+b)²-(c+d)²
↓
(a+b+c+d)(a+b-c-d)
↓
(a+b+c+d)(a+b-c-d)
识别技巧：看到"平方减平方"，立刻想到平方差公式。
例题 2-A
基础平方差
▼
分解因式：x² - 9
▶ 解析
x² - 9 = x² - 3²，符合 a² - b² 形式
∴ 原式 = (x + 3)(x - 3)
∴ 原式 = (x + 3)(x - 3)
例题 2-B
含系数平方差
▼
分解因式：4a² - 25b²
▶ 解析
4a² = (2a)²，25b² = (5b)²
∴ 原式 = (2a)² - (5b)² = (2a + 5b)(2a - 5b)
∴ 原式 = (2a)² - (5b)² = (2a + 5b)(2a - 5b)
例题 2-C
整体代换
▼
分解因式：(x+y)² - (x-y)²
▶ 解析
把(x+y)看作a，(x-y)看作b
a² - b² = (a+b)(a-b)
= [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
= (2x)(2y) = 4xy
a² - b² = (a+b)(a-b)
= [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
= (2x)(2y) = 4xy
Q1. 分解因式：a² - 16 = ?
Q2. 分解因式：9x² - 4y² = ?
Q3. (a+1)² - (b-1)² = ?
▌ 公式档案 [平方差公式]
核心公式
a² - b² = (a+b)(a-b)
系数平方
(ma)² - (nb)² = (ma+nb)(ma-nb)
整体代换
(A)² - (B)² = (A+B)(A-B)
MOD-03
完全平方公式 Perfect Square
因式分解科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：把一个三项式化成完全平方的形式，需要满足"首平方、尾平方、首尾积的两倍在中央"。
- 和的形式：两个数的平方和加上这两个数积的两倍
- 差的形式：两个数的平方和减去这两个数积的两倍
- 结构特征：三项式；有两项是完全平方且同号；第三项是两底数积的±2倍
首项
a²
完全平方
完全平方
尾项
b²
完全平方
完全平方
中间项
±2ab
首尾积的两倍
首尾积的两倍
口诀记忆：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中间。
例题 3-A
和的完全平方
▼
分解因式：x² + 6x + 9
▶ 解析
x² = (x)²，9 = 3²，6x = 2·x·3
符合 a² + 2ab + b² 形式
∴ 原式 = (x + 3)²
符合 a² + 2ab + b² 形式
∴ 原式 = (x + 3)²
例题 3-B
差的完全平方
▼
分解因式：4a² - 12ab + 9b²
▶ 解析
4a² = (2a)²，9b² = (3b)²，-12ab = -2·(2a)·(3b)
符合 a² - 2ab + b² 形式
∴ 原式 = (2a - 3b)²
符合 a² - 2ab + b² 形式
∴ 原式 = (2a - 3b)²
例题 3-C
先提公因式再用公式
▼
分解因式：2x³ - 8x² + 8x
▶ 解析
第一步：提取公因式2x
= 2x(x² - 4x + 4)
第二步：括号内用完全平方公式
x² = x²，4 = 2²，-4x = -2·x·2
∴ 原式 = 2x(x - 2)²
= 2x(x² - 4x + 4)
第二步：括号内用完全平方公式
x² = x²，4 = 2²，-4x = -2·x·2
∴ 原式 = 2x(x - 2)²
Q1. 分解因式：x² + 10x + 25 = ?
Q2. 分解因式：9m² - 6mn + n² = ?
Q3. 下列哪个是完全平方式？
▌ 公式档案 [完全平方公式]
和的平方
a² + 2ab + b² = (a+b)²
差的平方
a² - 2ab + b² = (a-b)²
口诀
首平方+尾平方+2倍首尾积
MOD-04
十字相乘法 Cross Method
因式分解科 · 高级▌ 理论档案
定义：对于二次三项式 x² + px + q，如果能找到两个数a、b，使得 a+b=p 且 ab=q，则可分解为 (x+a)(x+b)。
- 核心：拆常数项，交叉相乘再相加得一次项系数
- 适用：二次项系数为1的二次三项式 x² + px + q
- 若二次项系数不为1，需将二次项系数也拆分
十字相乘示意图：
x
+
a
交叉相乘：x·b + x·a = (a+b)x
x
+
b
例题 4-A
基础十字相乘
▼
分解因式：x² + 5x + 6
▶ 解析
找两个数：和=5，积=6 → 2和3
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
验证：x·3 + x·2 = 5x ✓
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
验证：x·3 + x·2 = 5x ✓
例题 4-B
含负号的十字相乘
▼
分解因式：x² - x - 12
▶ 解析
找两个数：和=-1，积=-12 → -4和3
x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
验证：x·3 + x·(-4) = -x ✓
x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
验证：x·3 + x·(-4) = -x ✓
例题 4-C
二次项系数不为1
▼
分解因式：2x² + 7x + 3
▶ 解析
拆分2x² = 2x · x，拆分3 = 1 · 3
交叉验证：2x·3 + x·1 = 7x ✓
∴ 原式 = (2x + 1)(x + 3)
交叉验证：2x·3 + x·1 = 7x ✓
∴ 原式 = (2x + 1)(x + 3)
Q1. x² + 7x + 12 = ?
Q2. x² - 5x + 6 = ?
Q3. 2x² - 5x - 3 = ?
▌ 公式档案 [十字相乘法]
系数为1
x²+px+q = (x+a)(x+b)，a+b=p, ab=q
系数不为1
ax²+bx+c = (mx+p)(nx+q)
核心
拆两头，凑中间
MOD-05
分组分解法 Grouping
因式分解科 · 高级▌ 理论档案
定义：将多项式适当分组，使各组能分别分解，或分组后各组之间能继续分解。
- 适用条件：四项或四项以上的多项式；没有明显的公因式或公式可用
- 分组原则：分组后能提取公因式，或能用公式继续分解
- 常见分组方式：二二分组、三一分组
步骤：① 合理分组 → ② 各组分别提取公因式 → ③ 整体提取公因式
例题 5-A
二二分组
▼
分解因式：ax + ay + bx + by
▶ 解析
分组：(ax + ay) + (bx + by)
各组提取公因式：a(x+y) + b(x+y)
整体提取：(x+y)是公因式
∴ 原式 = (a+b)(x+y)
各组提取公因式：a(x+y) + b(x+y)
整体提取：(x+y)是公因式
∴ 原式 = (a+b)(x+y)
例题 5-B
分组后用平方差
▼
分解因式：x² - y² + x + y
▶ 解析
分组：(x² - y²) + (x + y)
第一组用平方差：(x+y)(x-y) + (x+y)
提取公因式(x+y)：
= (x+y)[(x-y) + 1] = (x+y)(x-y+1)
第一组用平方差：(x+y)(x-y) + (x+y)
提取公因式(x+y)：
= (x+y)[(x-y) + 1] = (x+y)(x-y+1)
例题 5-C
三一分组（完全平方+平方差）
▼
分解因式：a² + 2ab + b² - c²
▶ 解析
分组：(a² + 2ab + b²) - c²
前三项用完全平方：(a+b)² - c²
再用平方差公式：
= [(a+b) + c][(a+b) - c] = (a+b+c)(a+b-c)
前三项用完全平方：(a+b)² - c²
再用平方差公式：
= [(a+b) + c][(a+b) - c] = (a+b+c)(a+b-c)
Q1. ax + bx + ay + by = ?
Q2. a² - b² + a - b = ?
Q3. x² - 4xy + 4y² - 9 = ?
▌ 公式档案 [分组分解法]
二二分组
am+an+bm+bn = (a+b)(m+n)
三一分组
a²±2ab+b²-c² = (a±b+c)(a±b-c)
原则
分组后可提取公因式或用公式
SUMMARY
因式分解方法总览
因式分解科 · 总集▌ 解题策略
因式分解的一般步骤：
- 第一步：提 — 先看各项有没有公因式，有则先提取
- 第二步：看项数 — 两项看平方差；三项看完全平方或十字相乘；四项以上看分组
- 第三步：检查 — 分解后检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止
口诀：一提二套三分组，检查彻底再收工。
▌ 公式档案 [总集]
提公因式
ma+mb+mc = m(a+b+c)
平方差
a²-b² = (a+b)(a-b)
完全平方
a²±2ab+b² = (a±b)²
十字相乘
x²+px+q = (x+a)(x+b)
分组分解
am+an+bm+bn = (a+b)(m+n)