MOD-01
整式的概念 Polynomial Concepts
代数基础科 · 基础级▌ 理论档案
代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。
单项式：由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数（含符号）
- 次数：单项式中所有字母的指数之和
多项式：几个单项式的和。
- 项：组成多项式的每个单项式
- 常数项：不含字母的项
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
整式：单项式和多项式统称为整式。
单项式：3x²y | 系数=3 | 次数=3 | 多项式：2x²-5x+1 | 次数=2▌ 动态拆解演示
3x²y
→
3
× x² × y
→
系数=3
3x²y
→
3 × x² × y¹
→
次数=2+1=3
2x² - 5x + 1
→
项：2x², -5x, +1
→
次数=2（最高）
例题 1-A
识别单项式的系数与次数
判断下列单项式的系数和次数：
(1) -5x³y² (2) ⅔a²b (3) -πr²
(1) -5x³y² (2) ⅔a²b (3) -πr²
▶ 解析
(1) -5x³y²：系数 = -5，次数 = 3+2 = 5
(2) ⅔a²b：系数 = ⅔，次数 = 2+1 = 3
(3) -πr²：系数 = -π（π 是数字），次数 = 2
(2) ⅔a²b：系数 = ⅔，次数 = 2+1 = 3
(3) -πr²：系数 = -π（π 是数字），次数 = 2
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例题 1-B
多项式的项、次数与常数项
分析多项式 4x³ - 2x²y + 7xy - 9 的各项、次数和常数项。
▶ 解析
项：4x³、-2x²y、+7xy、-9（共 4 项，是四次四项式）
4x³ 次数=3；-2x²y 次数=2+1=3；7xy 次数=1+1=2；-9 次数=0
最高次数：3 → 多项式次数为 3
常数项：-9
4x³ 次数=3；-2x²y 次数=2+1=3；7xy 次数=1+1=2；-9 次数=0
最高次数：3 → 多项式次数为 3
常数项：-9
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例题 1-C
整式与分式的区分
下列代数式中，哪些是整式？
① 3x+2 ② 1/x ③ -7 ④ (x²+1)/(x-1) ⑤ ½a²b³
① 3x+2 ② 1/x ③ -7 ④ (x²+1)/(x-1) ⑤ ½a²b³
▶ 解析
整式的分母中不含字母。
① 3x+2 ✓（多项式）
② 1/x ✗（分母含字母 x）
③ -7 ✓（单项式，常数项）
④ (x²+1)/(x-1) ✗（分母含字母）
⑤ ½a²b³ ✓（单项式）
∴ 整式有 ①③⑤
① 3x+2 ✓（多项式）
② 1/x ✗（分母含字母 x）
③ -7 ✓（单项式，常数项）
④ (x²+1)/(x-1) ✗（分母含字母）
⑤ ½a²b³ ✓（单项式）
∴ 整式有 ①③⑤
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Q1. 单项式 -⅔ab² 的系数和次数分别是？
Q2. 多项式 x⁴ - 3x² + 5x - 7 的次数和常数项分别是？
Q3. 下列哪个不是整式？
▌ 公式档案 [整式概念]
单项式系数
数字因数（含符号）
单项式次数
所有字母指数之和
多项式次数
最高次项的次数
常数项
不含字母的项
MOD-02
同类项 Like Terms
代数基础科 · 基础级▌ 理论档案
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
- 同类项与系数无关
- 同类项与字母的排列顺序无关
- 判断关键：字母相同 + 对应指数相同
识别方法：
- 看字母：所含字母是否完全相同
- 看指数：每个相同字母的指数是否对应相等
- 常数项之间总是同类项
▌ 同类项识别演示
3x²y
与
-5x²y
→
同类项 ✓
3x²y
与
5xy²
→
非同类项 ✗
7
与
-3
→
同类项 ✓（常数项）
例题 2-A
判断同类项
判断下列各组是否为同类项：
(1) 2a²b 与 -3a²b (2) 4xy² 与 4x²y (3) -5 与 ⅔
(1) 2a²b 与 -3a²b (2) 4xy² 与 4x²y (3) -5 与 ⅔
▶ 解析
(1) 2a²b 与 -3a²b：字母都是 a、b，a 的指数都是 2，b 的指数都是 1 → 是同类项
(2) 4xy² 与 4x²y：x 的指数 1≠2，y 的指数 2≠1 → 不是同类项
(3) -5 与 ⅔：都是常数项 → 是同类项
(2) 4xy² 与 4x²y：x 的指数 1≠2，y 的指数 2≠1 → 不是同类项
(3) -5 与 ⅔：都是常数项 → 是同类项
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例题 2-B
含参数的同类项问题
若单项式 2xm+1y³ 与 -3x²yn-1 是同类项，求 m、n 的值。
▶ 解析
同类项要求对应字母指数相同：
x 的指数：m + 1 = 2 → m = 1
y 的指数：3 = n - 1 → n = 4
x 的指数：m + 1 = 2 → m = 1
y 的指数：3 = n - 1 → n = 4
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例题 2-C
多项式中的同类项归类
在多项式 3x²y - 5xy² + 2x²y + 7xy² - 4x²y + 1 中，找出所有同类项组。
▶ 解析
按字母和指数分组：
x²y 组：3x²y、+2x²y、-4x²y
xy² 组：-5xy²、+7xy²
常数项组：+1（单独一项）
x²y 组：3x²y、+2x²y、-4x²y
xy² 组：-5xy²、+7xy²
常数项组：+1（单独一项）
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Q1. 下列与 3a²b 是同类项的是？
Q2. 若 4x³ym 与 -2xny² 是同类项，则 m+n = ?
Q3. 下列说法正确的是？
▌ 公式档案 [同类项]
同类项条件
字母相同 ∧ 指数相同
与系数关系
无关
与顺序关系
无关
常数项
总是同类项
MOD-03
合并同类项 Combining Like Terms
代数基础科 · 进阶级▌ 理论档案
法则：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
- 合并方法：系数相加，字母和字母的指数不变
- 不是同类项的项不能合并
- 合并时带上项前面的符号
步骤：
- 找出同类项（可用下划线/标记分组）
- 提取公有的字母部分，系数相加
- 写出合并后的结果
▌ 合并过程演示
3x²
+
5x²
=
(3+5)x²
=
8x²
4ab
-
7ab
=
(4-7)ab
=
-3ab
2x²y
+
3xy²
=
不能合并 ✗
例题 3-A
基础合并同类项
合并同类项：3a²b - 5ab² + 2a²b + 7ab² - 4a²b
▶ 解析
a²b 组：3a²b + 2a²b - 4a²b = (3+2-4)a²b = a²b
ab² 组：-5ab² + 7ab² = (-5+7)ab² = 2ab²
∴ 原式 = a²b + 2ab²
ab² 组：-5ab² + 7ab² = (-5+7)ab² = 2ab²
∴ 原式 = a²b + 2ab²
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例题 3-B
含多重字母的合并
化简：2x² - 3xy + 4y² - 5x² + 7xy - 2y² + x²
▶ 解析
x² 组：2x² - 5x² + x² = (2-5+1)x² = -2x²
xy 组：-3xy + 7xy = (-3+7)xy = 4xy
y² 组：4y² - 2y² = (4-2)y² = 2y²
∴ 原式 = -2x² + 4xy + 2y²
xy 组：-3xy + 7xy = (-3+7)xy = 4xy
y² 组：4y² - 2y² = (4-2)y² = 2y²
∴ 原式 = -2x² + 4xy + 2y²
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例题 3-C
先化简再求值
化简并求值：3x²y - 2xy² + 5x²y - xy² - 4x²y，其中 x = -1，y = 2
▶ 解析
x²y 组：3x²y + 5x²y - 4x²y = 4x²y
xy² 组：-2xy² - xy² = -3xy²
化简结果：4x²y - 3xy²
代入 x=-1, y=2：
4×(-1)²×2 - 3×(-1)×2² = 4×1×2 - 3×(-1)×4 = 8 + 12 = 20
xy² 组：-2xy² - xy² = -3xy²
化简结果：4x²y - 3xy²
代入 x=-1, y=2：
4×(-1)²×2 - 3×(-1)×2² = 4×1×2 - 3×(-1)×4 = 8 + 12 = 20
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Q1. 合并同类项：7a - 3a + 2a = ?
Q2. 化简 3x² + 2x - 5x² + 4x 的结果是？
Q3. 下列合并正确的是？
▌ 公式档案 [合并同类项]
合并法则
系数相加，字母不变
一般形式
ma + na = (m+n)a
注意
非同类项不能合并
MOD-04
去括号 Removing Parentheses
代数基础科 · 进阶级▌ 理论档案
法则一（正括号前）：括号前面是 "+" 号，去掉括号和前面的 "+" 号，括号里各项不变号。
法则二（负括号前）：括号前面是 "-" 号，去掉括号和前面的 "-" 号，括号里各项都变号（+变-，-变+）。
- 去括号依据：乘法分配律 a(b+c) = ab + ac
- 多层括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号
- 括号前有数字因数时，先用分配律乘进去
▌ 去括号法则演示
+(a - b + c)
→
+a -b +c
=
a - b + c
-(a - b + c)
→
-a +b -c
=
-a + b - c
2(3x - 5)
→
2×3x - 2×5
=
6x - 10
例题 4-A
基础去括号
去括号并化简：
(1) +(2x - 3y + 5) (2) -(3a - 2b - 4)
(1) +(2x - 3y + 5) (2) -(3a - 2b - 4)
▶ 解析
(1) 括号前是 "+"，各项不变号：
+(2x - 3y + 5) = 2x - 3y + 5
(2) 括号前是 "-"，各项都变号：
-(3a - 2b - 4) = -3a + 2b + 4 = -3a + 2b + 4
+(2x - 3y + 5) = 2x - 3y + 5
(2) 括号前是 "-"，各项都变号：
-(3a - 2b - 4) = -3a + 2b + 4 = -3a + 2b + 4
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例题 4-B
含数字因数的去括号
去括号：-3(2x² - 4x + 1)
▶ 解析
用 -3 分别乘以括号内每一项：
-3 × 2x² = -6x²
-3 × (-4x) = +12x
-3 × 1 = -3
∴ 原式 = -6x² + 12x - 3
-3 × 2x² = -6x²
-3 × (-4x) = +12x
-3 × 1 = -3
∴ 原式 = -6x² + 12x - 3
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例题 4-C
多层括号化简
化简：2x - [3y - (4x - 5y) + 2x]
▶ 解析
从内向外去括号：
第一步（去小括号）：3y - (4x - 5y) + 2x = 3y - 4x + 5y + 2x = -2x + 8y
第二步（去中括号）：2x - [-2x + 8y] = 2x + 2x - 8y = 4x - 8y
第一步（去小括号）：3y - (4x - 5y) + 2x = 3y - 4x + 5y + 2x = -2x + 8y
第二步（去中括号）：2x - [-2x + 8y] = 2x + 2x - 8y = 4x - 8y
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Q1. -(a - 2b + 3) 去括号后等于？
Q2. 2(3x - 4) 去括号后等于？
Q3. 化简 x - (2x - 3) 的结果是？
▌ 公式档案 [去括号]
+( ) 法则
+(a+b) = a + b
-( ) 法则
-(a+b) = -a - b
分配律
k(a+b) = ka + kb
口诀
正不变，负全变
MOD-05
整式的加减 Polynomial Arithmetic
代数基础科 · 高级▌ 理论档案
整式加减的本质：去括号 + 合并同类项。
- 整式加减的结果仍是整式
- 运算时注意：括号前的符号、数字因数的分配
- 多个整式相加减时，可以看作括号连接的形式
运算步骤：
- 有括号先去括号（由内到外）
- 找出所有同类项
- 合并同类项（系数相加）
- 写出最简结果
求值问题：先化简，再代入求值，比直接代入更简洁。
步骤：去括号 → 找同类项 → 合并 → 代入求值▌ 整式加减完整流程演示
(2x² - 3x + 1)
-
(x² + 2x - 5)
→
= 2x² - 3x + 1 -x² -2x +5
= (2-1)x² +(-3-2)x +(1+5)
=
x² - 5x + 6
例题 5-A
两个多项式的加减
计算：(3x² - 5x + 2) - (2x² + 3x - 7)
▶ 解析
第一步（去括号）：3x² - 5x + 2 - 2x² - 3x + 7
第二步（找同类项）：
x² 项：3x² - 2x²
x 项：-5x - 3x
常数项：2 + 7
第三步（合并）：(3-2)x² + (-5-3)x + (2+7) = x² - 8x + 9
第二步（找同类项）：
x² 项：3x² - 2x²
x 项：-5x - 3x
常数项：2 + 7
第三步（合并）：(3-2)x² + (-5-3)x + (2+7) = x² - 8x + 9
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例题 5-B
含多层括号的整式加减
化简：3a - [2a - (5a - 4b) + 3b] - (a - b)
▶ 解析
从内到外去括号：
先算中括号内：2a - (5a - 4b) + 3b = 2a - 5a + 4b + 3b = -3a + 7b
中括号：3a - [-3a + 7b] = 3a + 3a - 7b = 6a - 7b
最后小括号：-(a - b) = -a + b
总计：6a - 7b - a + b = 5a - 6b
先算中括号内：2a - (5a - 4b) + 3b = 2a - 5a + 4b + 3b = -3a + 7b
中括号：3a - [-3a + 7b] = 3a + 3a - 7b = 6a - 7b
最后小括号：-(a - b) = -a + b
总计：6a - 7b - a + b = 5a - 6b
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例题 5-C
化简求值综合
化简并求值：2(x² - 3xy) - 3(2x² - xy) + 4x²，其中 x = -2，y = 3
▶ 解析
第一步（去括号）：
2x² - 6xy - 6x² + 3xy + 4x²
第二步（合并同类项）：
x²：(2 - 6 + 4)x² = 0x² = 0
xy：(-6 + 3)xy = -3xy
化简结果：-3xy
代入 x=-2, y=3：-3 × (-2) × 3 = 18
2x² - 6xy - 6x² + 3xy + 4x²
第二步（合并同类项）：
x²：(2 - 6 + 4)x² = 0x² = 0
xy：(-6 + 3)xy = -3xy
化简结果：-3xy
代入 x=-2, y=3：-3 × (-2) × 3 = 18
▼ 点击展开解析
Q1. 计算 (5x - 3) - (2x + 4) = ?
Q2. 化简 2(a² + a) - 3(a² - 2a) = ?
Q3. 若 A = 3x² - 2x + 1，B = x² + 4x - 3，则 A - B = ?
▌ 公式档案 [整式加减]
运算核心
去括号 + 合并同类项
结果特征
仍是整式，无同类项可合并
求值策略
先化简，再代入
去括号口诀
正不变，负全变
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