圆是平面几何中最完美的图形。从古代的车轮、日晷，到现代的卫星轨道、光纤截面——圆无处不在。在数学上，圆被定义为：
平面上到定点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成的图形
其中，O 称为圆心，r 称为半径。
核心术语速查：
已知 ⊙O 的半径为 5，弦 AB 的中点 M 到圆心 O 的距离为 3。求弦 AB 的长度。
分析：连接 OA、OB，OM ⊥ AB（垂径定理），在 Rt△OMA 中用勾股定理。
解：
∵ OA = 5（半径），OM = 3
在 Rt△OMA 中：AM = √(OA² - OM²) = √(25 - 9) = √16 = 4
由垂径定理：AB = 2·AM = 2 × 4 = 8
过圆内一点 P（不与圆心重合），可以作出无数条弦。问：过 P 点的弦中，最长和最短分别是哪条？
解：
设 ⊙O 半径为 r，OP = d。
最长弦：过 P 且过圆心 O 的直径。长度 = 2r
最短弦：与 OP 垂直的弦。设其长为 L，则
(L/2)² + d² = r² → L = 2√(r² - d²)
证明：对过 P 的任意弦，设弦心距为 h，则弦长 = 2√(r²-h²)。当弦 ⊥ OP 时，h = d（最大），故弦长最短。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
圆周角定理（核心）：同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半。
∠ACB = ½∠AOB（同弧 AB 所对）
推论：
◈ 圆心角 vs 圆周角 — 交互演示 ◈
拖动滑块改变圆心角，观察圆周角的变化关系
如图，A、B、C 在 ⊙O 上，∠AOB = 80°。点 D 也在圆上，且 D 与 C 在 AB 的两侧。求 ∠ADB。
解：
∵ ∠ACB 与 ∠AOB 同对弧 AB
∴ ∠ACB = ½∠AOB = ½ × 80° = 40°
∵ A、C、B、D 四点共圆（圆内接四边形）
∴ ∠ADB + ∠ACB = 180°（对角互补）
∴ ∠ADB = 180° - 40° = 140°
注意：D 与 C 在 AB 两侧时，∠ADB 与 ∠ACB 互补；若在同侧，则 ∠ADB = ∠ACB = 40°。
如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 在圆上，∠CAB = 25°。求 ∠ABC 和 ∠ACB。
解：
∵ AB 是直径
∴ ∠ACB = 90°（直径所对圆周角为直角）
在 Rt△ABC 中：
∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 25° = 65°
∴ ∠ABC = 65°，∠ACB = 90°
⊙O 的直径为 26，弦 AB 的长为 24，弦 CD ⊥ AB 且经过 AB 的中点 M。求 CD 的长。
解：
半径 r = 13，AB = 24，AM = 12
在 Rt△OMA 中：OM = √(13² - 12²) = √25 = 5
∵ CD ⊥ AB 且过 M，∴ CD 所在直线与 AB 所在直线垂直于 M
OM 是弦心距，若 CD 过 M 且 ⊥ AB，则 CD 所在弦到圆心距离取决于 M 的位置。
实际上，M 是 AB 中点，OM = 5，CD 过 M。设 CD 弦心距为 h，则
若 CD 过圆心（即 CD 为直径），则 h = 0，CD = 26。
若 CD 不过圆心，设弦心距为 d，则 CM = √(r² - d²)
这里题目暗示 CD ⊥ AB 且过 M，需判断 CD 是否过 O。由于 M 不是 O（OM=5≠0），CD 一般不过 O。
∵ CD ⊥ AB，且过 M，设 CD 与 AB 交于 M，则 CD 弦心距就是 OM 在 CD 方向的投影。
如果 CD 所在直线恰好过 O（即 CD 为直径），则 CD = 26。
否则设弦心距为 h，CD = 2√(r² - h²)，其中 h 为 O 到 CD 的距离。
重新审视：CD ⊥ AB 于 M，OM = 5。若 CD 过 M，则 O 到 CD 的距离 = OM = 5（因为 CD ⊥ AB）。
∴ CD = 2√(13² - 5²) = 2√(169-25) = 2√144 = 2×12 = 24
设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r：
相离（无交点）
相切（1个交点）
相交（2个交点）
切线性质：
切线判定：
◈ 直线与圆的位置关系 — 动态演示 ◈
拖动滑块改变 d 和 r，观察位置关系变化（当前：相交）
如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8。以 C 为圆心，r 为半径作圆。当 r 为何值时，AB 与 ⊙C 相切？
分析：AB 与 ⊙C 相切 ⇔ C 到 AB 的距离 = r。
解：
先求 AB = √(6² + 8²) = 10
利用面积法求 C 到 AB 的距离 h：
S△ABC = ½·AC·BC = ½·6·8 = 24
又 S△ABC = ½·AB·h = ½·10·h = 5h
∴ 5h = 24 → h = 4.8
∴ 当 r = 4.8 时，AB 与 ⊙C 相切。
⊥ 符号验证：切点处，半径 ⊥ AB，满足切线判定定理。
从圆外一点 P 向 ⊙O 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点。求证：PA = PB。
证明：
连接 OA、OB、OP。
∵ PA、PB 是切线
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB（切线性质）
∴ △OAP 和 △OBP 都是直角三角形
在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中：
OA = OB（半径相等）
OP = OP（公共边）
∴ Rt△OAP ≅ Rt△OBP（HL）
∴ PA = PB
切线长公式：若 OP = d，半径 = r，则 PA = √(d² - r²)
如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点，AC 是弦。求证：∠PAC = ∠ABC（弦切角等于所夹弧对的圆周角）。
证明：
连接 AO 并延长交圆于 D，连接 CD。
∵ PA 是切线 ∴ OA ⊥ PA → ∠PAD = 90°
∵ AD 是直径 ∴ ∠ACD = 90°
∴ ∠PAC + ∠CAD = 90°，且 ∠ADC + ∠CAD = 90°
∴ ∠PAC = ∠ADC
又 ∵ ∠ADC 与 ∠ABC 同对弧 AC
∴ ∠ADC = ∠ABC
∴ ∠PAC = ∠ABC 得证
设两圆圆心距为 d，半径分别为 R（大）和 r（小）：
外离
外切
相交
内切
内含
连心线性质：
◈ 两圆位置关系 — 五态演示 ◈
当前状态：相交
⊙O₁ 半径为 5，⊙O₂ 半径为 3。若两圆外切，求圆心距 O₁O₂。
解：
两圆外切的条件：d = R + r
∴ O₁O₂ = 5 + 3 = 8
补充：若两圆内切，则 d = R - r = 5 - 3 = 2
⊙O₁ 与 ⊙O₂ 相交于 A、B 两点，O₁O₂ = 10，两圆半径分别为 8 和 6。求公共弦 AB 的长度。
分析：连心线 O₁O₂ 垂直平分 AB。设交点为 M。
解：
设 O₁M = x，则 O₂M = 10 - x
AM² = O₁A² - O₁M² = 8² - x² = 64 - x²
AM² = O₂A² - O₂M² = 6² - (10-x)² = 36 - (100 - 20x + x²)
∴ 64 - x² = 36 - 100 + 20x - x²
64 = -64 + 20x
20x = 128 → x = 6.4
∴ AM = √(64 - 6.4²) = √(64 - 40.96) = √23.04 = 4.8
∴ AB = 2 × AM = 9.6
⊙O 半径为 5，点 P 在 ⊙O 外，OP = 8。以 P 为圆心作 ⊙P，问 ⊙P 的半径 r 为何值时，两圆：①外离 ②外切 ③相交 ④内切 ⑤内含？
解：
已知 d = OP = 8，R = 5。
① 外离：d > R + r → 8 > 5 + r → r < 3 且 r > 0
② 外切：d = R + r → 8 = 5 + r → r = 3
③ 相交：|R-r| < d < R+r → |5-r| < 8 < 5+r
由 8 < 5+r 得 r > 3；由 |5-r| < 8 得 -3 < r < 13
∴ 3 < r < 13
④ 内切：d = |R-r| → 8 = |5-r|
若 r > 5：8 = r - 5 → r = 13
若 r < 5：8 = 5 - r → r = -3（舍去）
∴ r = 13（⊙P 内含 ⊙O 且内切）
⑤ 内含：d < |R-r|
若 r > 5：8 < r - 5 → r > 13
若 r < 5：8 < 5 - r → r < -3（舍去）
∴ r > 13（⊙P 内含 ⊙O）
设圆心角为 n°，半径为 r：
弧长公式：
l = (nπr)/180
扇形面积公式：
S_扇形 = (nπr²)/360 = ½lr
弓形面积公式：
S_弓形 = S_扇形 - S_三角形 = (nπr²)/360 - ½r²·sin(n°)
圆柱侧面积：S_侧 = 2πrh
圆锥侧面积：S_侧 = πrl（l 为母线长）
⊙O 半径为 6，弦 AB 所对的圆心角为 120°。求劣弧 AB 的长。
解：
l = (nπr)/180 = (120 × π × 6)/180 = (720π)/180 = 4π
∴ 劣弧 AB 的长为 4π
⊙O 半径为 4，∠AOB = 90°。求扇形 AOB 和弓形 AB 的面积。
解：
扇形面积：
S_扇形 = (90 × π × 4²)/360 = (90 × 16π)/360 = 4π
弓形面积：
S_△AOB = ½ × OA × OB × sin90° = ½ × 4 × 4 × 1 = 8
S_弓形 = S_扇形 - S_△AOB = 4π - 8
一个圆锥的底面半径为 3，母线长为 5。求圆锥的侧面积和侧面展开图的圆心角。
解：
侧面积：
S_侧 = πrl = π × 3 × 5 = 15π
展开图圆心角：
展开图是扇形，扇形半径 = 母线长 = 5
扇形弧长 = 圆锥底面周长 = 2π × 3 = 6π
设圆心角为 n°，则：
(nπ × 5)/180 = 6π → n = (6 × 180)/5 = 216°
∴ 侧面展开图的圆心角为 216°
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
∠PAC = ∠ABC（PA 切线，AC 弦）
相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两线段乘积相等。
PA · PB = PC · PD
切割线定理：从圆外一点引切线和割线，切线长的平方等于割线全长与其外段的乘积。
PA² = PB · PC（PA 切线，PBC 割线）
两圆公切线：
如图，PA 切 ⊙O 于 A，PBC 是割线，∠P = 40°，∠ABC = 70°。求 ∠ACB。
解：
∵ PA 是切线 ∴ ∠PAC = ∠ABC = 70°（弦切角定理）
在 △PAC 中：
∠P + ∠PAC + ∠PCA = 180°
40° + 70° + ∠PCA = 180°
∠PCA = 70°
∵ ∠PCA 与 ∠ACB 互补（在直线 PB 上）
等等，重新审视：P、B、C 共线，∠PCA 就是 ∠ACB。
实际上，P-B-C 在割线上，A 在圆上。
∴ ∠ACB = ∠PCA = 70°
从圆外一点 P 引圆的切线 PA（A 为切点）和割线 PBC（B、C 在圆上）。已知 PA = 6，PB = 4。求 BC。
解：
由切割线定理：PA² = PB · PC
6² = 4 · PC → 36 = 4PC → PC = 9
BC = PC - PB = 9 - 4 = 5
如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 P。求证：PA · PB = PC · PD。
分析：这是割线定理的一般形式。需证 △PAD ∽ △PCB。
证明：
∵ ABCD 是圆内接四边形
∴ ∠PAD = ∠PCB（外角等于内对角）
又 ∠P = ∠P（公共角）
∴ △PAD ∽ △PCB（AA）
∴ PA/PC = PD/PB
∴ PA · PB = PC · PD 得证
如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 是直径，CD 是切线，C 为切点，CD ⊥ AC 交 AB 延长线于 D。
(1) 求证：∠BCA = ∠DCA
(2) 若 ⊙O 半径为 5，AC = 6，求 AD 的长。
(1) 证明：
∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB = 90°
∵ CD 是切线 ∴ OC ⊥ CD
又 ∵ CD ⊥ AC（已知）
∴ OC ∥ AC？不对，重新分析。
∵ CD 是切线，由弦切角定理：∠DCA = ∠ABC
在 Rt△ABC 中：∠ABC + ∠BAC = 90°
又 ∠BCA = 90°（直径所对圆周角）
需要重新理清角度关系...
正确证明：
连接 OC。∵ CD 是切线 ∴ OC ⊥ CD
∵ CD ⊥ AC ∴ OC ∥ AC
∴ ∠OCA = ∠CAD（内错角）
∵ OA = OC（半径）∴ ∠OAC = ∠OCA
∴ ∠OAC = ∠CAD，即 AC 平分 ∠BAD
∵ ∠BCA = 90°，在圆中，这已足够说明...
实际上，题目要证 ∠BCA = ∠DCA：
∵ ∠BCA = 90°（直径所对）
且 CD ⊥ AC ∴ ∠DCA = 90°
∴ ∠BCA = ∠DCA = 90° 得证
(2) 解：
AB = 2r = 10，AC = 6
在 Rt△ABC 中：BC = √(10² - 6²) = √64 = 8
由 (1) 知 AC 平分 ∠BAD，但这里需要的是 AD。
在 Rt△ACD 中，∠CAD = ∠CAB
cos∠CAB = AC/AB = 6/10 = 3/5
AD = AC / cos∠CAD = 6 / (3/5) = 10
⊙O₁ 与 ⊙O₂ 外切于点 P，过 P 的直线交 ⊙O₁ 于 A，交 ⊙O₂ 于 B。过 A 作 ⊙O₁ 的切线，过 B 作 ⊙O₂ 的切线，两切线交于点 C。求证：∠ACB = 90°。
证明：
连接 O₁P、O₂P。∵ 两圆外切于 P ∴ O₁、P、O₂ 共线。
∵ CA 切 ⊙O₁ 于 A ∴ O₁A ⊥ CA
∵ CB 切 ⊙O₂ 于 B ∴ O₂B ⊥ CB
连接 O₁A、O₂B。
∵ O₁A = O₁P（半径），∴ △O₁AP 是等腰三角形
∴ ∠O₁AP = ∠O₁PA
同理，∠O₂BP = ∠O₂PB
∵ O₁、P、O₂ 共线 ∴ ∠O₁PA + ∠O₂PB = 180°
在四边形 O₁ACB 中，这并不直接有用...
换一种方法：
设 ∠O₁PA = α，则 ∠O₁AP = α，∠O₂PB = 180°-α，∠O₂BP = 180°-α
∠CAP = 90°-α（∵ O₁A ⊥ CA）
∠CBP = 90°-(180°-α) = α-90°？这不对，因为 α > 90° 时不成立。
实际上，∠CBP = ∠O₂BP - 90° = (180°-α) - 90° = 90°-α
在 △ACP 中：∠CAP = 90°-α
在 △BCP 中：∠CBP = 90°-α，但需要确定 ∠CBP 的方向。
∵ A、P、B 共线，考虑直线 APB。
∠CAP + ∠CAB = 90°（这是错的）
正确的：
∠CAP = 90° - ∠O₁AP = 90° - α
∠CBP = 90° - ∠O₂BP = 90° - (180°-α) = α - 90°
这只有当 α > 90° 时为正。
实际上应该考虑有向角或用内角。
∠APC + ∠BPC = 180°
在 △APC 中：∠APC + ∠CAP + ∠ACP = 180°
在 △BPC 中：∠BPC + ∠CBP + ∠BCP = 180°
相加：180° + (90°-α) + (α-90°) + ∠ACB = 360°
180° + 0° + ∠ACB = 360°
∴ ∠ACB = 90° 得证
如图，在 ⊙O 中，弦 AB ⊥ CD 于 E，AE = 3，EB = 5，CE = 2。求 ⊙O 的半径。
分析：利用相交弦定理和垂径定理。
解：
AB = AE + EB = 3 + 5 = 8，设 ED = x
由相交弦定理：AE · EB = CE · ED
3 × 5 = 2 × x → x = 7.5
∴ CD = CE + ED = 2 + 7.5 = 9.5
设圆心为 O，作 OM ⊥ AB 于 M，ON ⊥ CD 于 N。
∵ AB ⊥ CD，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD
∴ 四边形 OMEN 是矩形
M 是 AB 中点：AM = MB = 4
∴ ME = AM - AE = 4 - 3 = 1
∴ ON = ME = 1
N 是 CD 中点：CN = ND = 4.75
∴ NE = CN - CE = 4.75 - 2 = 2.75
∴ OM = NE = 2.75
在 Rt△OMA 中：r² = OM² + AM² = 2.75² + 4² = 7.5625 + 16 = 23.5625
∴ r = √23.5625 = 4.854...
重新检查：23.5625 = 377/16，√(377/16) = √377/4
r = √377 / 4（或约 4.85）