在自然界与工程设计中，抛物线是最常见的曲线之一。篮球的投篮轨迹、喷泉的水流、桥梁的拱形、卫星天线的反射面——它们的数学模型都可以用一个统一的形式来描述：
y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
这就是二次函数。本章的任务是：掌握这条曲线的数学规律，并学会用它解决实际问题。
一名球员投篮时，篮球的运动轨迹可近似看作抛物线。已知篮球出手点高度为2.2m，经过1秒后在最高点达到4.2m（水平距离3m），最终落入篮筐（高度3.05m，水平距离6m）。
分析：以出手点为原点建立坐标系，设抛物线解析式为 y = ax² + bx + c，利用已知条件可求出具体解析式。
解：
由题意，过点(0, 2.2)，顶点(3, 4.2)，以及(6, 3.05)。
利用顶点式 y = a(x-3)² + 4.2，代入(0, 2.2)：
2.2 = a(0-3)² + 4.2 → 9a = -2 → a = -2/9
∴ 解析式为 y = -²/₉(x-3)² + 4.2 = -²/₉x² + ⁴/₃x + 2.2
某桥的主拱为抛物线形，桥拱跨度为80m，拱高为20m。以桥拱顶点为原点建立坐标系。
求：桥拱所在抛物线的解析式。
解：
设抛物线为 y = ax²（顶点在原点，开口向下，a < 0）。
桥拱跨度80m → 两端点坐标为(-40, -20) 和 (40, -20)。
代入(40, -20)：-20 = a · 40² → -20 = 1600a → a = -1/80
∴ 解析式为 y = -¹/₈₀x²
形如 y = ax² + bx + c 的函数叫做二次函数，其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0。
核心要素：
对于二次函数 y = 2x² - 8x + 6：
解：
a = 2, b = -8, c = 6
开口方向：∵ a = 2 > 0 ∴ 开口向上
对称轴：x = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2
顶点横坐标：x = 2
顶点纵坐标：y = (4·2·6 - (-8)²)/(4·2) = (48-64)/8 = -16/8 = -2
∴ 顶点坐标为 (2, -2)
求二次函数 y = -3x² + 6x + 1 的顶点坐标和最值。
解：
a = -3, b = 6, c = 1
顶点横坐标：x = -b/(2a) = -6/(2·(-3)) = -6/(-6) = 1
顶点纵坐标：y = (4ac-b²)/(4a) = (4·(-3)·1 - 6²)/(4·(-3)) = (-12-36)/(-12) = -48/(-12) = 4
∴ 顶点坐标为 (1, 4)
∵ a = -3 < 0，开口向下，∴ 函数有最大值 y_max = 4
五点法绘制抛物线：取顶点 + 对称的四个点（通常取与x轴交点、y轴交点或x=±1, ±2等）。
平移关系：y = ax² 的图像经过平移可得到 y = a(x-h)² + k 的图像：
顶点从(0,0)移动到(h, k)。
◈ 交互式抛物线实验室 ◈
拖动滑块观察 y = ax² + bx + c 的变化 · 顶点坐标实时显示
顶点: (0.00, 0.00)
用五点法画出 y = x² - 2x - 3 的图像。
解：
① 配方：y = (x-1)² - 4，顶点为(1, -4)，对称轴 x = 1
② 取点：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 |
③ 描点连线：过(-1,0)、(0,-3)、(1,-4)、(2,-3)、(3,0)画平滑曲线，开口向上。
将抛物线 y = 2x² 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，求新抛物线的解析式。
解：
向右平移3个单位：将 x 替换为 (x-3)，得 y = 2(x-3)²
向上平移2个单位：整体加2，得 y = 2(x-3)² + 2
展开：y = 2(x² - 6x + 9) + 2 = 2x² - 12x + 18 + 2 = 2x² - 12x + 20
∴ 新抛物线解析式为 y = 2(x-3)² + 2 或 y = 2x² - 12x + 20
顶点变化：(0,0) → (3, 2)
当 a > 0 时（开口向上）：
当 a < 0 时（开口向下）：
与x轴交点（判别式 Δ = b² - 4ac）：
求函数 y = -2x² + 8x - 5 的单调区间和最值。
解：
a = -2 < 0，开口向下，对称轴 x = -8/(2·(-2)) = 2
顶点纵坐标：y = (4·(-2)·(-5) - 8²)/(4·(-2)) = (40-64)/(-8) = (-24)/(-8) = 3
∴ 顶点为(2, 3)
单调性：
当 x < 2 时，y 随 x 增大而增大（增区间：(-∞, 2)）
当 x > 2 时，y 随 x 增大而减小（减区间：(2, +∞)）
最值：函数有最大值 y_max = 3，无最小值。
判断下列抛物线与x轴的交点情况：
(1) y = x² - 5x + 6 (2) y = x² - 2x + 1 (3) y = x² + x + 1
解：
(1) Δ = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1 > 0 → 两个交点：(2,0) 和 (3,0)
(2) Δ = (-2)² - 4·1·1 = 4 - 4 = 0 → 一个交点（顶点在x轴上）：(1,0)
(3) Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3 < 0 → 无交点（抛物线完全在x轴上方）
待定系数法求二次函数解析式 —— 标准四步：
三种常见设法：
二次函数图像经过点 A(1, -2)、B(-1, 6)、C(2, -3)，求解析式。
解（四步法）：
Step 1 — 设：设 y = ax² + bx + c
Step 2 — 代：
A(1,-2)： a + b + c = -2 …①
B(-1,6)： a - b + c = 6 …②
C(2,-3)： 4a + 2b + c = -3 …③
Step 3 — 解：
①-②：2b = -8 → b = -4
代入①：a - 4 + c = -2 → a + c = 2 …④
代入③：4a + 2·(-4) + c = -3 → 4a + c = 5 …⑤
⑤-④：3a = 3 → a = 1
代入④：1 + c = 2 → c = 1
Step 4 — 验：
y = x² - 4x + 1，验证：A(1, 1-4+1=-2)✓ B(-1, 1+4+1=6)✓ C(2, 4-8+1=-3)✓
∴ 解析式为 y = x² - 4x + 1
二次函数顶点为(2, -1)，且经过点(0, 3)，求解析式。
解（四步法）：
Step 1 — 设：已知顶点，设顶点式 y = a(x-2)² - 1
Step 2 — 代：将(0, 3)代入：
3 = a(0-2)² - 1 → 3 = 4a - 1 → 4a = 4 → a = 1
Step 3 — 解：已得 a = 1
Step 4 — 验：
y = (x-2)² - 1 = x² - 4x + 4 - 1 = x² - 4x + 3
顶点x = -(-4)/2 = 2，y = 4-8+3 = -1 ✓ 点(0,3)：0-0+3=3 ✓
∴ 解析式为 y = (x-2)² - 1 或 y = x² - 4x + 3
二次函数与x轴交于(-2, 0)和(4, 0)，且经过点(1, -9)，求解析式。
解（四步法）：
Step 1 — 设：已知x轴交点，设交点式 y = a(x+2)(x-4)
Step 2 — 代：将(1, -9)代入：
-9 = a(1+2)(1-4) = a · 3 · (-3) = -9a
Step 3 — 解：-9a = -9 → a = 1
Step 4 — 验：
y = (x+2)(x-4) = x² - 2x - 8
x=-2：4+4-8=0 ✓ x=4：16-8-8=0 ✓ (1,-9)：1-2-8=-9 ✓
∴ 解析式为 y = x² - 2x - 8
用二次函数解决实际问题的建模流程：
常见题型：最大利润、最大面积、最短距离、抛体运动最高/远点。
某商店销售T恤，成本价40元/件。当售价60元/件时，每周可卖出300件。调查发现：售价每涨1元，销量减少10件。求最大利润时的售价和最大利润。
解：
Step 1 — 设变量：设售价涨x元，则售价为 (60 + x) 元，销量为 (300 - 10x) 件
Step 2 — 建模型：
每件利润 = (60+x) - 40 = (20 + x) 元
总利润 W = 每件利润 × 销量 = (20+x)(300-10x)
展开：W = -10x² + 100x + 6000
Step 3 — 定范围：
销量 ≥ 0：300 - 10x ≥ 0 → x ≤ 30
涨价 ≥ 0：x ≥ 0 ∴ 0 ≤ x ≤ 30
Step 4 — 求最值：
W = -10x² + 100x + 6000 = -10(x² - 10x) + 6000 = -10(x-5)² + 6250
顶点 x = 5 在范围内，∴ 当 x = 5 时，W_max = 6250
Step 5 — 回归实际：
售价 = 60 + 5 = 65元，最大利润 = 6250元
用24m长的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙作为一边，不需要篱笆），求最大面积时的长和宽。
解：
Step 1 — 设变量：设与墙平行的一边长为 x m，则垂直于墙的两边各为 (24-x)/2 = (12 - 0.5x) m
Step 2 — 建模型：
面积 S = 长 × 宽 = x · (12 - 0.5x) = -0.5x² + 12x
Step 3 — 定范围：0 < x < 24
Step 4 — 求最值：
S = -0.5x² + 12x = -0.5(x² - 24x) = -0.5(x-12)² + 72
顶点 x = 12 在范围内，∴ 当 x = 12 时，S_max = 72
Step 5 — 回归实际：
与墙平行的边 = 12m，垂直于墙的边 = (24-12)/2 = 6m
最大面积 = 72 m²
一门火炮以初速度v₀=50m/s、发射角45°发射炮弹，其高度y（m）与水平距离x（m）的关系近似为：y = -0.01x² + x（忽略空气阻力简化模型）。
求：(1) 炮弹最高点的高度和水平距离；(2) 最大射程（落地点）。
解：
(1) 最高点即顶点：
x = -b/(2a) = -1/(2·(-0.01)) = 50m
y = -0.01·50² + 50 = -25 + 50 = 25m
∴ 最高点高度 25m，此时水平距离 50m
(2) 落地点 y = 0：
-0.01x² + x = 0 → x(-0.01x + 1) = 0
x = 0（发射点）或 x = 100m（落地点）
∴ 最大射程为 100m
以下3道综合题覆盖本章全部核心考点。请先独立思考，再展开查看详解。
已知二次函数 y = x² + bx + c 的图像经过点 A(-1, 0) 和 B(3, 0)，与 y 轴交于点 C。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 求顶点 P 的坐标；
(3) 求 △ABC 的面积。
(1) 求解析式：
图像过 A(-1, 0) 和 B(3, 0)，设交点式：
y = a(x+1)(x-3)
由二次项系数可知 a = 1（y = x² + bx + c 中x²系数为1）
∴ y = (x+1)(x-3) = x² - 2x - 3
即 b = -2, c = -3
(2) 求顶点：
对称轴 x = -(-2)/(2·1) = 1
y = 1² - 2·1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
∴ 顶点 P = (1, -4)
(3) 求△ABC面积：
与y轴交点 C：x=0时，y = -3，∴ C = (0, -3)
底边 AB = 3 - (-1) = 4
高 = |y_C| = 3（C到x轴距离，因为AB在x轴上）
面积 = ½ × 4 × 3 = 6
抛物线 y = ax² + bx + c 开口向下，对称轴为直线 x = 1，图像经过点 (0, 3)，且与 x 轴的一个交点为 (-1, 0)。
(1) 求 a, b, c 的值；
(2) 当 x 取何值时，y > 0？
(3) 求函数的最大值。
(1) 求 a, b, c：
对称轴 x = 1：-b/(2a) = 1 → b = -2a …①
过(0, 3)：c = 3 …②
过(-1, 0)：a(-1)² + b(-1) + c = 0 → a - b + 3 = 0 → a - b = -3 …③
①代入③：a - (-2a) = -3 → 3a = -3 → a = -1
∴ b = -2·(-1) = 2
验证：y = -x² + 2x + 3，开口向下(a<0) ✓ 对称轴x=1 ✓ (0,3) ✓ (-1,0) ✓
∴ a = -1, b = 2, c = 3
(2) y > 0 的区间：
求与x轴交点：-x² + 2x + 3 = 0 → x² - 2x - 3 = 0 → (x-3)(x+1) = 0
∴ x₁ = -1, x₂ = 3
∵ 开口向下，∴ -1 < x < 3 时，y > 0
(3) 最大值：
顶点在 x = 1 处，y = -1 + 2 + 3 = 4
∴ 最大值为 y_max = 4
某工厂生产一种零件，每件成本40元。经市场调查：
设每件降低 x 元出售，每天利润为 W 元。
(1) 求 W 与 x 的函数关系式；
(2) 每件降价多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
(3) 若工厂要求每天利润不低于4800元且让利给顾客，定价应为多少？
(1) 建立函数关系：
降价 x 元后，售价 = (60 - x) 元，销量 = (200 + 20x) 件
每件利润 = (60-x) - 40 = (20 - x) 元
W = (20-x)(200+20x) = -20x² + 200x + 4000
取值范围：售价 ≥ 成本 → 60-x ≥ 40 → x ≤ 20；且 x ≥ 0
∴ 0 ≤ x ≤ 20
(2) 求最大利润：
W = -20x² + 200x + 4000 = -20(x² - 10x) + 4000 = -20(x-5)² + 4500
顶点 x = 5 在范围内，∴ 当 x = 5 时，W_max = 4500元
此时定价 = 60 - 5 = 55元
(3) 利润不低于4800元：
令 W = 4800：-20(x-5)² + 4500 = 4800
-20(x-5)² = 300 → (x-5)² = -15
无解！说明最大利润仅4500元，无法达到4800元。
（若题目数据调整使W≥4800有解，解出x范围后取让利最大的，即降价最多的那个）