QUAD · 第21章一元二次方程

01

一元二次方程的概念

▌ 战术定义

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a — 二次项系数 | b — 一次项系数 | c — 常数项

识别要点：① 必须是整式方程；② 只含一个未知数；③ 最高次数为2；④ 二次项系数 a ≠ 0。

当 a = 0 时，方程退化为一次方程，不再属于 QUAD 管辖范围。

▌ 抛物线映射：方程 ax²+bx+c=0 的根 = 函数 y=ax²+bx+c 与 x轴的交点

▌ 例题展开

例1 判断下列方程是否为一元二次方程：3x² - 5x + 2 = 0 +

SOLUTION

① 是整式方程 ✓

② 只含一个未知数 x ✓

③ 最高次数为 2 ✓

④ 二次项系数 a = 3 ≠ 0 ✓

结论：是一元二次方程。二次项系数 a=3，一次项系数 b=-5，常数项 c=2。

例2 将 (x-1)(x+3)=5 化为一般形式，并指出各项系数 +

SOLUTION

展开左边：x² + 3x - x - 3 = 5

整理：x² + 2x - 3 = 5

移项：x² + 2x - 8 = 0

结论：a = 1，b = 2，c = -8

例3 若 (m-2)x^|m| + 3x - 1 = 0 是一元二次方程，求 m 的值 +

SOLUTION

一元二次方程要求：① |m| = 2；② m - 2 ≠ 0

由 |m| = 2 得：m = 2 或 m = -2

由 m - 2 ≠ 0 得：m ≠ 2

结论：m = -2

▌ 随堂测验

1. 方程 x² - 3x + 2 = 0 中，一次项系数是？

A. 1

B. -3

C. 2

D. -2

正确答案是 B。一般形式 ax²+bx+c=0 中，b=-3，所以一次项系数是 -3。

2. 下列哪个不是一元二次方程？

A. x² = 4

B. 2x² - x = 0

C. x³ + x = 1

D. x² + 2x + 1 = 0

正确答案是 C。x³ 的最高次数是3，不是一元二次方程。

3. 若方程 (k+1)x² + 3x - 2 = 0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是？

A. k ≠ 0

B. k ≠ -1

C. k 为任意实数

D. k > -1

正确答案是 B。要求二次项系数 k+1 ≠ 0，即 k ≠ -1。

▌ 公式总结

一般形式ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

二次项ax² — 系数 a

一次项bx — 系数 b

常数项c

02

直接开平方法

▌ 战术原理

直接开平方法适用于可以化为 x² = a 或 (x+m)² = n 形式的方程。

x² = a (a ≥ 0) ⇒ x = ±√a

当 a < 0 时，方程在实数范围内无解

(x+m)² = n (n ≥ 0) ⇒ x+m = ±√n ⇒ x = -m ± √n

适用场景：方程一边是完全平方式，另一边是非负常数。

▌ 数轴可视化：x² = 4 的根分布

-4

-2

0

2

4

x=-2

x=2

x² = 4 的两个根在数轴上关于原点对称，距离原点均为 2 个单位

▌ 例题展开

例1 解方程 x² = 16 +

SOLUTION

x² = 16

直接开平方：x = ±√16

x₁ = 4，x₂ = -4

例2 解方程 (x-3)² = 25 +

SOLUTION

(x-3)² = 25

开平方：x - 3 = ±5

x - 3 = 5 → x₁ = 8

x - 3 = -5 → x₂ = -2

结论：x₁ = 8，x₂ = -2

例3 解方程 4x² - 9 = 0 +

SOLUTION

4x² - 9 = 0

移项：4x² = 9

x² = 9/4

x = ±√(9/4) = ±3/2

结论：x₁ = 3/2，x₂ = -3/2

▌ 随堂测验

1. 方程 x² = 9 的解是？

A. x = 3

B. x = ±3

C. x = -3

D. 无解

正确答案是 B。x² = 9 有两个根：x = 3 和 x = -3。

2. 方程 (x+2)² = 0 的解是？

A. x = 2

B. x = ±2

C. x = -2（重根）

D. 无解

正确答案是 C。(x+2)²=0 时 x+2=0，x=-2，两个相同的根称为重根。

3. 方程 x² = -4 在实数范围内？

A. 无解

B. x = ±2

C. x = ±2i

D. x = 2

正确答案是 A。实数范围内负数不能开平方，方程无解。

▌ 公式总结

基本型x² = a (a≥0) → x = ±√a

平移型(x+m)² = n (n≥0) → x = -m ± √n

无解条件右边 < 0 时，实数范围内无解

03

配方法

▌ 战术原理

配方法的核心思想：将方程左边配成完全平方式，右边变为常数，再用直接开平方法求解。

x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²

配方口诀：「一次项系数一半的平方」

1

移项：将常数项移到右边

ax² + bx = -c

2

二次项系数化为 1：两边同除以 a

x² + (b/a)x = -c/a

3

配方：两边同时加上「一次项系数一半的平方」

x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

4

写成完全平方形式

(x + b/2a)² = (b²-4ac)/4a²

5

开平方求解

x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a

▌ 几何意义：补全正方形

蓝色：x² 正方形 | 橙色：bx 矩形 | 绿色：配方补上的小正方形

▌ 例题展开

例1 用配方法解 x² + 6x + 5 = 0 +

SOLUTION

移项：x² + 6x = -5

配方：x² + 6x + 9 = -5 + 9

(x + 3)² = 4

x + 3 = ±2

x₁ = -1，x₂ = -5

例2 用配方法解 2x² - 4x - 6 = 0 +

SOLUTION

两边除以 2：x² - 2x - 3 = 0

移项：x² - 2x = 3

配方：x² - 2x + 1 = 3 + 1

(x - 1)² = 4

x - 1 = ±2

x₁ = 3，x₂ = -1

例3 用配方法解 x² - 8x + 16 = 0 +

SOLUTION

左边已是完全平方式：(x - 4)² = 0

x - 4 = 0

x₁ = x₂ = 4（重根）

▌ 随堂测验

1. 配方 x² + 8x + __ = (x + __)²

A. 4, 4

B. 16, 4

C. 8, 8

D. 64, 8

正确答案是 B。一次项系数 8 的一半是 4，4 的平方是 16，所以 x²+8x+16=(x+4)²。

2. 用配方法解 x² - 4x = 5，配方后得到？

A. (x-2)² = 1

B. (x-2)² = 9

C. (x-4)² = 9

D. (x+2)² = 9

正确答案是 B。x²-4x=5，两边加 4 得 x²-4x+4=9，即 (x-2)²=9。

3. 配方法配方时两边同时加的是？

A. b²

B. b²/2

C. (b/2)²

D. (b/2a)²

正确答案是 C。配方时加「一次项系数一半的平方」，即 (b/2)²。

▌ 公式总结

配方口诀一次项系数一半的平方

完全平方x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²

标准流程移项 → 系数化1 → 配方 → 写成平方式 → 开方

04

公式法 · 求根公式与判别式

▌ 战术推导

从配方法出发，将 ax² + bx + c = 0 配方后得到通用求根公式。

求根公式
x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a

适用于所有一元二次方程，前提：a ≠ 0

▌ 判别式 Δ = b² - 4ac —— 三色预警系统

判别式决定方程根的性质，是本章核心考点。

Δ > 0

绿色警报 · 两个不等实根

x₁ ≠ x₂
x = [-b ± √Δ] / 2a

Δ = 0

黄色警报 · 两个相等实根（重根）

x₁ = x₂ = -b / 2a

Δ < 0

红色警报 · 无实数根

方程在实数范围内无解

▌ 判别式动画：三种情况的抛物线图像

▌ 数轴展示：根的分布

-3

-1

0

1

3

x=1

x=2

x²-3x+2=0 的两根 x=1 和 x=2 分布在数轴上

▌ 例题展开

例1 用公式法解 x² - 5x + 6 = 0，并判断判别式 +

SOLUTION

a = 1, b = -5, c = 6

Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0

Δ > 0，方程有两个不等实根

x = [5 ± √1] / 2 = [5 ± 1] / 2

x₁ = 3，x₂ = 2

例2 用公式法解 4x² - 12x + 9 = 0，并判断判别式 +

SOLUTION

a = 4, b = -12, c = 9

Δ = (-12)² - 4×4×9 = 144 - 144 = 0

Δ = 0，方程有两个相等实根

x = [12 ± √0] / 8 = 12/8 = 3/2

x₁ = x₂ = 3/2（重根）

例3 用公式法解 x² + 2x + 3 = 0，并判断判别式 +

SOLUTION

a = 1, b = 2, c = 3

Δ = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 < 0

Δ < 0，方程在实数范围内无解

▌ 随堂测验

1. 方程 x² - 4x + 4 = 0 的判别式 Δ = ?

A. 0

B. 0（Δ=0，两个相等实根）

C. 16

D. -16

正确答案是 B。Δ = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0，两个相等实根。

2. 方程 2x² + 3x + 5 = 0 的根的情况是？

A. 两个不等实根

B. 两个相等实根

C. 无实数根

D. 只有一个实根

正确答案是 C。Δ = 9 - 40 = -31 < 0，无实数根。

3. 求根公式中，当 Δ > 0 时，方程有？

A. 两个不相等的实数根

B. 两个相等的实数根

C. 无实数根

D. 无法确定

正确答案是 A。Δ > 0 时，√Δ 是正实数，±√Δ 产生两个不同的根。

▌ 公式总结

求根公式x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a

判别式Δ = b² - 4ac

Δ > 0两个不等实根

Δ = 0两个相等实根（重根）

Δ < 0无实数根

05

因式分解法

▌ 战术原理

若一元二次方程可分解为两个一次因式的乘积等于零，利用「若 AB=0，则 A=0 或 B=0」的原理求解。

ax² + bx + c = 0 ⇒ (px+q)(rx+s) = 0

则 px+q=0 或 rx+s=0，分别求解

三大分解技巧：

1

提取公因式法

ax² + bx = x(ax + b) = 0 → x=0 或 ax+b=0

2

十字相乘法

x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)

找两个数，乘积等于常数项，和等于一次项系数

3

分组分解法

ax² + bx + c — 按适当方式分组后提取公因式

▌ 十字相乘可视化

▌ 例题展开

例1 用因式分解法解 x² + 5x + 6 = 0 +

SOLUTION

找两个数：乘积 = 6，和 = 5 → 2 和 3

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0

x + 2 = 0 或 x + 3 = 0

x₁ = -2，x₂ = -3

例2 用因式分解法解 x² - 3x = 0 +

SOLUTION

提取公因式 x：

x(x - 3) = 0

x = 0 或 x - 3 = 0

x₁ = 0，x₂ = 3

例3 用因式分解法解 2x² - 7x + 3 = 0 +

SOLUTION

二次项系数 2 = 2×1，常数项 3 = (-1)×(-3)

交叉验证：2×(-3) + 1×(-1) = -6 -1 = -7 ✓

2x² - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3) = 0

2x - 1 = 0 → x₁ = 1/2

x - 3 = 0 → x₂ = 3

▌ 随堂测验

1. x² - 7x + 12 = 0 因式分解为？

A. (x-2)(x-6)

B. (x-3)(x-4)

C. (x-1)(x-12)

D. (x+3)(x+4)

正确答案是 B。3×4=12，3+4=7，所以 x²-7x+12=(x-3)(x-4)。

2. x² + 2x = 0 的解是？

A. x = -2

B. x₁=0, x₂=-2

C. x = 2

D. 无解

正确答案是 B。x(x+2)=0，x=0 或 x=-2。

3. (x-5)(x+2)=0 的根是？

A. x=5

B. x=-2

C. x₁=5, x₂=-2

D. x=3

正确答案是 C。x-5=0 得 x=5，x+2=0 得 x=-2。

▌ 公式总结

核心原理AB = 0 → A=0 或 B=0

十字相乘x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

提取公因式ax²+bx = x(ax+b)

06

根与系数的关系 · 韦达定理

▌ 战术定理

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0)，若两根为 x₁ 和 x₂，则：

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

无需解出具体根的值，直接从系数判断根的和与积

逆定理：以 x₁、x₂ 为根的一元二次方程（二次项系数为1）为：

x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0

▌ 韦达定理关系图

方程系数

a, b, c

→

韦达定理

x₁+x₂=-b/a
x₁x₂=c/a

→

根的性质

和与积

▌ 例题展开

例1 方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，求 x₁+x₂ 和 x₁x₂ +

SOLUTION

a = 1, b = -5, c = 6

x₁ + x₂ = -b/a = -(-5)/1 = 5

x₁ · x₂ = c/a = 6/1 = 6

验证：实际根为 2 和 3，2+3=5 ✓，2×3=6 ✓

例2 已知方程 2x² + 4x - 1 = 0 的两根为 x₁、x₂，求 (x₁-x₂)² +

SOLUTION

a = 2, b = 4, c = -1

x₁ + x₂ = -b/a = -4/2 = -2

x₁x₂ = c/a = -1/2

(x₁ - x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂

= (-2)² - 4×(-1/2) = 4 + 2 = 6

例3 以 3 和 -1 为根，写一个一元二次方程 +

SOLUTION

x₁ = 3, x₂ = -1

x₁ + x₂ = 3 + (-1) = 2

x₁x₂ = 3 × (-1) = -3

方程：x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0

x² - 2x - 3 = 0

验证：(x-3)(x+1) = x² - 2x - 3 ✓

▌ 随堂测验

1. 方程 x² + 3x - 4 = 0 的两根之和是？

A. 4

B. -3

C. 3

D. -4

正确答案是 B。x₁+x₂ = -b/a = -3/1 = -3。

2. 方程 3x² - 6x + 2 = 0 的两根之积是？

A. 6

B. -6

C. 2/3

D. -2/3

正确答案是 C。x₁x₂ = c/a = 2/3。

3. 以 2 和 5 为根的方程是？

A. x² + 7x + 10 = 0

B. x² - 3x + 10 = 0

C. x² - 7x + 10 = 0

D. x² + 3x - 10 = 0

正确答案是 C。x₁+x₂=7，x₁x₂=10，方程为 x²-7x+10=0。

▌ 公式总结

韦达定理x₁+x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a

常用变形(x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂

构造方程x² - (和)x + (积) = 0

第21章 · 一元二次方程

下一章 → CH22 直角三角形

第21章 一元二次方程

▌ 战术定义

▌ 抛物线映射：方程 ax²+bx+c=0 的根 = 函数 y=ax²+bx+c 与 x轴的交点

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

▌ 战术原理

▌ 数轴可视化：x² = 4 的根分布

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

▌ 战术原理

▌ 几何意义：补全正方形

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

▌ 战术推导

▌ 判别式 Δ = b² - 4ac —— 三色预警系统

▌ 判别式动画：三种情况的抛物线图像

▌ 数轴展示：根的分布

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

▌ 战术原理

▌ 十字相乘可视化

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

▌ 战术定理

▌ 韦达定理关系图

▌ 例题展开

▌ 随堂测验

▌ 公式总结

第21章一元二次方程