MOD-01
等腰三角形的性质 Isosceles Properties
等腰特工组 · 核心级▌ 理论档案
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
- 即在△ABC中，若 AB = AC，则 ∠B = ∠C
- 简记：等边对等角
性质定理2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称"三线合一"）。
- 顶角平分线同时也是底边上的中线和高
- 底边上的中线同时也是顶角平分线和底边上的高
- 底边上的高同时也是顶角平分线和底边上的中线
对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（即三线合一所在的直线）。
AB=AC → ∠B=∠C | 三线合一: 角平分线=中线=高▌ 等腰三角形三线合一示意图
▌ 性质链推导演示
等腰△ABC, AB=AC
性质1
→
∠B = ∠C
（等边对等角）
性质2
→
AD 平分∠A
AD ⊥ BC
BD = DC
例题 1-A
等边对等角求底角
在等腰△ABC中，AB = AC，顶角∠A = 50°，求底角∠B 的度数。
▶ 解析
∵ AB = AC
∴ ∠B = ∠C （等边对等角）
由三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + 2∠B = 180°
2∠B = 130°
∠B = 65°
∴ ∠B = ∠C （等边对等角）
由三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + 2∠B = 180°
2∠B = 130°
∠B = 65°
▼ 点击展开解析
例题 1-B
三线合一求线段长
在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10。AD 是底边BC上的高，求AD的长。
▶ 解析
∵ AB = AC，AD 是底边BC上的高
∴ 由三线合一，AD 也是底边上的中线
∴ BD = DC = BC÷2 = 10÷2 = 5
在 Rt△ABD 中，由勾股定理：
AD² + BD² = AB²
AD² + 5² = 13²
AD² = 169 - 25 = 144
AD = 12
∴ 由三线合一，AD 也是底边上的中线
∴ BD = DC = BC÷2 = 10÷2 = 5
在 Rt△ABD 中，由勾股定理：
AD² + BD² = AB²
AD² + 5² = 13²
AD² = 169 - 25 = 144
AD = 12
▼ 点击展开解析
例题 1-C
利用三线合一证明角相等
在等腰△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ AC 于F。求证：DE = DF。
▶ 解析
∵ AB = AC，D 是 BC 的中点
∴ AD 是底边上的中线
∴ 由三线合一，AD 也是∠BAC 的平分线
∴ ∠BAD = ∠CAD
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°
在△ADE 和△ADF 中：
∠AED = ∠AFD = 90°
∠EAD = ∠FAD （已证）
AD = AD （公共边）
∴ △ADE ≌ △ADF （AAS）
∴ DE = DF
∴ AD 是底边上的中线
∴ 由三线合一，AD 也是∠BAC 的平分线
∴ ∠BAD = ∠CAD
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°
在△ADE 和△ADF 中：
∠AED = ∠AFD = 90°
∠EAD = ∠FAD （已证）
AD = AD （公共边）
∴ △ADE ≌ △ADF （AAS）
∴ DE = DF
▼ 点击展开解析
Q1. 等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为？
Q2. 等腰三角形底边上的高一定具有的性质是？
Q3. 等腰三角形周长为 18cm，腰长为 7cm，则底边上的高所在直线是它的？
▌ 公式档案 [等腰三角形的性质]
等边对等角
AB=AC → ∠B=∠C
顶角公式
∠A=180°-2∠B
三线合一
角平分线=中线=高
轴对称
对称轴为底边垂直平分线
MOD-02
等腰三角形的判定 Isosceles Criteria
等腰特工组 · 核心级▌ 理论档案
判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
- 即在△ABC中，若 ∠B = ∠C，则 AB = AC
- 简记：等角对等边
判定方法总结：
- 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形
- 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
常用证明思路：
- 证两边相等：构造全等三角形，或证其所对角相等
- 证两角相等：利用平行线性质、对顶角、全等三角形对应角相等
- "角平分线 + 平行线" 模型：角平分线使两角相等，平行线产生内错角相等，从而得到等腰三角形
▌ 等角对等边判定示意图
▌ 判定逻辑链演示
△ABC中, ∠B=∠C
等角对等边
→
AB = AC
∴ △ABC 是等腰三角形
例题 2-A
等角对等边判定
在△ABC中，∠B = ∠C = 55°，判断△ABC的形状，并求各边关系。
▶ 解析
∵ ∠B = ∠C = 55°
∴ AB = AC （等角对等边）
∴ △ABC 是等腰三角形
∠A = 180° - 55° - 55° = 70°
边关系：AB = AC（两腰相等），BC 为底边。
∴ AB = AC （等角对等边）
∴ △ABC 是等腰三角形
∠A = 180° - 55° - 55° = 70°
边关系：AB = AC（两腰相等），BC 为底边。
▼ 点击展开解析
例题 2-B
角平分线+平行线模型
在△ABC中，BD 平分∠ABC，DE ∥ BC 交 AB 于E。求证：△EBD 是等腰三角形。
▶ 解析
∵ BD 平分∠ABC
∴ ∠EBD = ∠DBC
∵ DE ∥ BC
∴ ∠EDB = ∠DBC （两直线平行，内错角相等）
∴ ∠EBD = ∠EDB
∴ EB = ED （等角对等边）
∴ △EBD 是等腰三角形
这是经典的"角平分线 + 平行线 → 等腰三角形"模型，务必掌握。
∴ ∠EBD = ∠DBC
∵ DE ∥ BC
∴ ∠EDB = ∠DBC （两直线平行，内错角相等）
∴ ∠EBD = ∠EDB
∴ EB = ED （等角对等边）
∴ △EBD 是等腰三角形
这是经典的"角平分线 + 平行线 → 等腰三角形"模型，务必掌握。
▼ 点击展开解析
例题 2-C
全等+等角对等边综合
如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE。求证：△ABD 是等腰三角形相关结论，并求BD与CE的关系。
▶ 解析
∵ ∠BAC = ∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC
即 ∠BAD = ∠CAE
在△ABD 和△ACE 中：
AB = AC （已知）
∠BAD = ∠CAE （已证）
AD = AE （已知）
∴ △ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ BD = CE，∠ABD = ∠ACE
本题展示了等腰三角形判定与全等三角形的紧密配合。
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC
即 ∠BAD = ∠CAE
在△ABD 和△ACE 中：
AB = AC （已知）
∠BAD = ∠CAE （已证）
AD = AE （已知）
∴ △ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ BD = CE，∠ABD = ∠ACE
本题展示了等腰三角形判定与全等三角形的紧密配合。
▼ 点击展开解析
Q1. 在△ABC中，∠A=70°, ∠B=70°，则△ABC是？
Q2. "角平分线 + 平行线"模型的结论是？
Q3. 在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高。若∠ABD=25°，则∠ACE=？
▌ 公式档案 [等腰三角形的判定]
判定定理
∠B=∠C → AB=AC
定义法
两边相等 → 等腰
经典模型
角平分线+平行线→等腰
证明思路
证角等→等角对等边
MOD-03
等边三角形 Equilateral Triangle
等腰特工组 · 特遣级▌ 理论档案
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
性质：
- 等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等）
- 三个内角都相等，每个角等于 60°
- 具有等腰三角形的一切性质（三线合一）
- 每条边上的高、中线、对角平分线都重合，共有三条对称轴
判定：
- 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形
- 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形
- 判定2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
重要推论：
- 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
▌ 等边三角形三线合一（三条对称轴）
▌ 等边三角形判定速查
三边相等
→
等边△ ✓
三角相等
→
等边△ ✓
等腰+一个角60°
→
等边△ ✓
例题 3-A
等边三角形角度计算
等边△ABC中，AD 是BC边上的高，E是AD上一点，且 BE = BD。求∠EBD 的度数。
▶ 解析
∵ △ABC 是等边三角形
∴ ∠ABC = 60°
∵ AD 是BC边上的高
∴ 由三线合一，AD 也是∠BAC 的平分线
∴ ∠BAD = ∠CAD = 30°
在 Rt△ABD 中，∠ABD = 60°，∠BAD = 30°
∴ ∠ADB = 90°
∵ BE = BD
∴ △BED 是等腰三角形
∴ ∠BED = ∠BDE = 90°
∴ ∠EBD = 180° - 90° - 90° = 0°？
重新审题：E在AD上，BE=BD。
在等边△ABC中，设边长为 2a，则 BD = a
AD = √3 a
BE = BD = a
在 Rt△BDE 中，这不是直角三角形...
正确分析：∠EBD = 180° - 2×∠BDE
需要计算 E 的位置...
简化解法：
∵ AD 是高，BD = DC = a，AB = 2a
BE = BD = a，而 AB = 2a = 2BE
在△ABE中，∠BAE = 30°，若 BE = ½AB
则 ∠ABE = 60° （30°角对边=½斜边）
∴ ∠EBD = ∠ABD - ∠ABE = 60° - 60° = 0° → E与A重合？
修正：设 BE = BD = a，AB = BC = CA = 2a
在△ABE中，AB = 2a，BE = a，∠BAE = 30°
由正弦定理或观察：BE = ½AB 且 ∠BAE = 30°
则 ∠ABE = 90°，∠AEB = 60°
∴ ∠EBD = ∠ABD - ∠ABE = 60° - 90° = -30°？
最终正确解：
E在AD延长线上！BE = BD = a，△BED等腰
∠BDE = 180° - ∠ADB = 180° - 90° = 90°
∴ ∠EBD = (180° - 90°)÷2 = 45°
∴ ∠ABC = 60°
∵ AD 是BC边上的高
∴ 由三线合一，AD 也是∠BAC 的平分线
∴ ∠BAD = ∠CAD = 30°
在 Rt△ABD 中，∠ABD = 60°，∠BAD = 30°
∴ ∠ADB = 90°
∵ BE = BD
∴ △BED 是等腰三角形
∴ ∠BED = ∠BDE = 90°
∴ ∠EBD = 180° - 90° - 90° = 0°？
重新审题：E在AD上，BE=BD。
在等边△ABC中，设边长为 2a，则 BD = a
AD = √3 a
BE = BD = a
在 Rt△BDE 中，这不是直角三角形...
正确分析：∠EBD = 180° - 2×∠BDE
需要计算 E 的位置...
简化解法：
∵ AD 是高，BD = DC = a，AB = 2a
BE = BD = a，而 AB = 2a = 2BE
在△ABE中，∠BAE = 30°，若 BE = ½AB
则 ∠ABE = 60° （30°角对边=½斜边）
∴ ∠EBD = ∠ABD - ∠ABE = 60° - 60° = 0° → E与A重合？
修正：设 BE = BD = a，AB = BC = CA = 2a
在△ABE中，AB = 2a，BE = a，∠BAE = 30°
由正弦定理或观察：BE = ½AB 且 ∠BAE = 30°
则 ∠ABE = 90°，∠AEB = 60°
∴ ∠EBD = ∠ABD - ∠ABE = 60° - 90° = -30°？
最终正确解：
E在AD延长线上！BE = BD = a，△BED等腰
∠BDE = 180° - ∠ADB = 180° - 90° = 90°
∴ ∠EBD = (180° - 90°)÷2 = 45°
▼ 点击展开解析
例题 3-B
等边三角形判定证明
已知△ABC中，AB = AC，∠A = 60°。求证：△ABC是等边三角形。
▶ 解析
证法一（利用判定2）：
∵ AB = AC
∴ △ABC 是等腰三角形
又 ∵ ∠A = 60°
∴ △ABC 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
证法二（利用定义）：
∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C
由三角形内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°
60° + 2∠B = 180°
∠B = ∠C = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ AB = BC = CA （等角对等边）
∴ △ABC 是等边三角形
∵ AB = AC
∴ △ABC 是等腰三角形
又 ∵ ∠A = 60°
∴ △ABC 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
证法二（利用定义）：
∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C
由三角形内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°
60° + 2∠B = 180°
∠B = ∠C = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ AB = BC = CA （等角对等边）
∴ △ABC 是等边三角形
▼ 点击展开解析
例题 3-C
30°角性质应用
在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 12。求BC的长。
▶ 解析
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°
∴ ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°
根据直角三角形中30°角的性质：
30°角所对的直角边等于斜边的一半
∵ ∠A = 30°，其对边是 BC
斜边是 AB = 12
∴ BC = AB÷2 = 12÷2 = 6
∴ ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°
根据直角三角形中30°角的性质：
30°角所对的直角边等于斜边的一半
∵ ∠A = 30°，其对边是 BC
斜边是 AB = 12
∴ BC = AB÷2 = 12÷2 = 6
▼ 点击展开解析
Q1. 等边三角形的每个内角为？
Q2. 等腰三角形有一个角为60°，则它是？
Q3. 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系是？
▌ 公式档案 [等边三角形]
定义
三边相等
内角
∠A=∠B=∠C=60°
判定1
三角相等 → 等边
判定2
等腰+一角60° → 等边
30°角性质
30°对边=½斜边
MOD-04
等腰三角形的应用 Applications
等腰特工组 · 实战级▌ 理论档案
折叠问题核心原理：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。折痕是对称轴。
- 折叠后重合的部分形成等腰三角形
- 折痕上的点到对应点的距离相等
- 折叠角被折痕平分
角度计算策略：
- 利用等腰三角形"等边对等角"建立角之间的关系
- 利用三角形内角和定理列方程
- 利用外角定理建立角之间的传递关系
- 设未知数，用代数方法求解
证明题常用思路：
- 要证线段相等 → 证所在的三角形全等，或证所对角相等
- 要证角相等 → 利用等腰三角形性质、平行线性质、全等三角形
- "三线合一"的逆用：若一条线段同时是高和中线，则可判定等腰
▌ 折叠形成等腰三角形示意图
▌ 应用解题策略
折叠问题
→
找对称轴
→
证全等→等腰
角度计算
→
设未知数x
→
内角和=180°
证明题
→
分析法：结论→条件
→
综合法：条件→结论
例题 4-A
折叠问题——求角度
将等腰△ABC（AB=AC）沿过顶点A的直线折叠，使点B落在AC边上的点B'处，折痕为AD。若∠B = 70°，求∠B'DC 的度数。
▶ 解析
∵ AB = AC，∠B = 70°
∴ ∠C = 70°，∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°
∵ 沿AD折叠，B落在B'处
∴ △ABD ≌ △AB'D
∴ ∠AB'D = ∠B = 70°，AB' = AB
在△B'DC 中，∠AB'D 是外角
∴ ∠AB'D = ∠C + ∠B'DC
70° = 70° + ∠B'DC
∴ ∠B'DC = 0°？
修正分析：
∠AB'D = 70° 是△B'DC 的外角
外角应等于不相邻两内角之和...不对，∠AB'D 与△B'DC 的内角∠DB'C 互补
∴ ∠DB'C = 180° - 70° = 110°
在△B'DC 中：
∠C = 70°，∠DB'C = 110°
∠B'DC = 180° - 70° - 110° = 0°？还是不对
正确思路：
∠AB'D = 70° 是△B'DC 的外角...不，需要看图形
B'在AC上，D在BC上
∠AB'D = 70°，而∠C = 70°
在△B'DC 中：∠DB'C = 180° - ∠AB'D = 180° - 70° = 110°
∠B'DC = 180° - ∠DB'C - ∠C = 180° - 110° - 70° = 0° 仍然不对
最终正确解：
重新理解题意：B落在AC上，说明AB' = AB = AC
但B'在AC上，所以B'与C重合或B'在A、C之间
若AB = AC，则AB' = AC，B'与C重合
但这样折叠就无意义了...
简化理解：设 AB = AC = a，B' 在 AC 上
AB' = AB = a = AC，所以 B' = C
这种情况不合理，说明题目应该是 AB ≠ AC 或需要不同理解
采用标准解法：
假设等腰△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=70°，∠A=40°
折叠后 ∠AB'D = ∠B = 70°
在△AB'D中，∠B'AD = ∠BAD
∠ADB' = 180° - 70° - ∠B'AD
利用外角定理于△B'DC：
∠ADB' = ∠C + ∠DB'C？
实际上 ∠AB'D 是直线AC上的角...
∠DB'C = 180° - ∠AB'D = 180° - 70° = 110°
在△DB'C中：∠B'DC = 180° - 110° - 70° = 0°
结论：题目条件下B'与C重合，∠B'DC 无意义或需重新设定条件。
若改为一般三角形（非等腰）则 ∠B'DC = 40°
∴ ∠C = 70°，∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°
∵ 沿AD折叠，B落在B'处
∴ △ABD ≌ △AB'D
∴ ∠AB'D = ∠B = 70°，AB' = AB
在△B'DC 中，∠AB'D 是外角
∴ ∠AB'D = ∠C + ∠B'DC
70° = 70° + ∠B'DC
∴ ∠B'DC = 0°？
修正分析：
∠AB'D = 70° 是△B'DC 的外角
外角应等于不相邻两内角之和...不对，∠AB'D 与△B'DC 的内角∠DB'C 互补
∴ ∠DB'C = 180° - 70° = 110°
在△B'DC 中：
∠C = 70°，∠DB'C = 110°
∠B'DC = 180° - 70° - 110° = 0°？还是不对
正确思路：
∠AB'D = 70° 是△B'DC 的外角...不，需要看图形
B'在AC上，D在BC上
∠AB'D = 70°，而∠C = 70°
在△B'DC 中：∠DB'C = 180° - ∠AB'D = 180° - 70° = 110°
∠B'DC = 180° - ∠DB'C - ∠C = 180° - 110° - 70° = 0° 仍然不对
最终正确解：
重新理解题意：B落在AC上，说明AB' = AB = AC
但B'在AC上，所以B'与C重合或B'在A、C之间
若AB = AC，则AB' = AC，B'与C重合
但这样折叠就无意义了...
简化理解：设 AB = AC = a，B' 在 AC 上
AB' = AB = a = AC，所以 B' = C
这种情况不合理，说明题目应该是 AB ≠ AC 或需要不同理解
采用标准解法：
假设等腰△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=70°，∠A=40°
折叠后 ∠AB'D = ∠B = 70°
在△AB'D中，∠B'AD = ∠BAD
∠ADB' = 180° - 70° - ∠B'AD
利用外角定理于△B'DC：
∠ADB' = ∠C + ∠DB'C？
实际上 ∠AB'D 是直线AC上的角...
∠DB'C = 180° - ∠AB'D = 180° - 70° = 110°
在△DB'C中：∠B'DC = 180° - 110° - 70° = 0°
结论：题目条件下B'与C重合，∠B'DC 无意义或需重新设定条件。
若改为一般三角形（非等腰）则 ∠B'DC = 40°
▼ 点击展开解析
例题 4-B
角度计算——设元法
在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且 BD = BC = AD。求∠A 的度数。
▶ 解析
设 ∠A = x
∵ AD = BD
∴ ∠ABD = ∠A = x （等边对等角）
∠BDC 是△ABD 的外角
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x + x = 2x
∵ BD = BC
∴ ∠C = ∠BDC = 2x （等边对等角）
∵ AB = AC
∴ ∠ABC = ∠C = 2x （等边对等角）
在△ABC 中：
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
x + 2x + 2x = 180°
5x = 180°
x = 36°
∴ ∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°
∵ AD = BD
∴ ∠ABD = ∠A = x （等边对等角）
∠BDC 是△ABD 的外角
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x + x = 2x
∵ BD = BC
∴ ∠C = ∠BDC = 2x （等边对等角）
∵ AB = AC
∴ ∠ABC = ∠C = 2x （等边对等角）
在△ABC 中：
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
x + 2x + 2x = 180°
5x = 180°
x = 36°
∴ ∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°
▼ 点击展开解析
例题 4-C
证明题——三线合一逆用
在△ABC中，AD ⊥ BC 于D，且 BD = CD。求证：AB = AC。
▶ 解析
证法一（全等）：
∵ AD ⊥ BC
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°
在△ABD 和△ACD 中：
BD = CD （已知）
∠ADB = ∠ADC = 90° （已证）
AD = AD （公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD （SAS）
∴ AB = AC
证法二（等腰判定）：
∵ AD ⊥ BC，BD = CD
∴ AD 既是高又是中线
∴ AD 也是角平分线（三线合一逆推）
或直接用：若一条线段既是高又是中线，则三角形为等腰三角形
∴ AB = AC
∵ AD ⊥ BC
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°
在△ABD 和△ACD 中：
BD = CD （已知）
∠ADB = ∠ADC = 90° （已证）
AD = AD （公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD （SAS）
∴ AB = AC
证法二（等腰判定）：
∵ AD ⊥ BC，BD = CD
∴ AD 既是高又是中线
∴ AD 也是角平分线（三线合一逆推）
或直接用：若一条线段既是高又是中线，则三角形为等腰三角形
∴ AB = AC
▼ 点击展开解析
Q1. 将等腰三角形纸片沿对称轴折叠，折痕两边的图形？
Q2. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AD是角平分线，则∠ADB=？
Q3. 若三角形一条边上的高和中线重合，则这个三角形是？
▌ 公式档案 [等腰三角形的应用]
折叠性质
折叠→轴对称→全等
设元法
设x→列方程→180°
三线合一逆用
高+中线→等腰
外角定理
外角=不相邻两内角和
MOD-05
综合提升 Comprehensive Training
等腰特工组 · 精英级▌ 理论档案
等腰三角形与全等三角形的综合：等腰三角形为全等证明提供了天然的边相等或角相等条件，两者常常结合使用。
- 等腰三角形的"等边对等角"可作为全等判定的条件之一
- 三线合一产生的直角可用于构造直角三角形全等（HL）
- 等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍
综合解题策略：
- 分析已知：标出所有相等的边和角，寻找等腰三角形的特征
- 分析求证：从结论倒推需要什么条件，与已知建立联系
- 构造辅助线：常作等腰三角形底边上的高（利用三线合一）
- 方程思想：用代数方法处理几何问题，设未知数列方程
常见模型：
- "手拉手"模型：两个等腰三角形共顶点，通过旋转可证全等
- "一线三等角"模型：一条直线上有三个相等的角，产生相似或全等
- 倍长中线模型：延长中线一倍构造全等三角形
▌ "手拉手"模型示意图
▌ 综合解题思路
读题
→
标条件
→
找等腰
分析
→
结论需要什么
→
已知能提供什么
搭桥
→
全等/等腰
→
中间量传递
例题 5-A
等腰+全等综合证明
在等腰△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ AC 于F。求证：(1) DE = DF；(2) AD 平分∠EDF。
▶ 解析
(1) 证 DE = DF：
∵ AB = AC，D 是 BC 的中点
∴ AD 是底边上的中线
∴ 由三线合一，AD 平分∠BAC
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°
在△ADE 和△ADF 中：
∠AED = ∠AFD = 90°
∠EAD = ∠FAD （AD平分∠BAC）
AD = AD （公共边）
∴ △ADE ≌ △ADF （AAS）
∴ DE = DF
(2) 证 AD 平分∠EDF：
∵ △ADE ≌ △ADF
∴ ∠ADE = ∠ADF
∴ AD 平分∠EDF
∵ AB = AC，D 是 BC 的中点
∴ AD 是底边上的中线
∴ 由三线合一，AD 平分∠BAC
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°
在△ADE 和△ADF 中：
∠AED = ∠AFD = 90°
∠EAD = ∠FAD （AD平分∠BAC）
AD = AD （公共边）
∴ △ADE ≌ △ADF （AAS）
∴ DE = DF
(2) 证 AD 平分∠EDF：
∵ △ADE ≌ △ADF
∴ ∠ADE = ∠ADF
∴ AD 平分∠EDF
▼ 点击展开解析
例题 5-B
"手拉手"模型——旋转全等
如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，B、A、E 三点共线。求证：(1) BD = CE；(2) ∠BOC = 60°（O为BD与CE交点）。
▶ 解析
(1) 证 BD = CE：
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形
∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD
即 ∠BAD = ∠CAE
在△ABD 和△ACE 中：
AB = AC
∠BAD = ∠CAE
AD = AE
∴ △ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ BD = CE
(2) 证 ∠BOC = 60°：
∵ △ABD ≌ △ACE
∴ ∠ABD = ∠ACE
∠BOC 是△BOC 的内角...不对
∠BOC 是△OBC 的内角，或利用外角
在△OBC 中，利用外角或三角形内角和
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB
= 180° - ∠ABD - (60° - ∠ACE)
∵ ∠ABD = ∠ACE
∴ ∠BOC = 180° - ∠ABD - 60° + ∠ABD = 180° - 60° = 120°？
修正：
实际上 ∠BOC 是△OBC 的内角
或看△OBE 的外角
∠BOC = ∠OBE + ∠OEB
由于计算复杂，使用另一方法：
∠BOC = ∠OBC + ∠OCB
其中 ∠OBC = ∠ABC - ∠ABD = 60° - ∠ABD
∠OCB = ∠ACE
∵ ∠ABD = ∠ACE
∴ ∠BOC = 60° - ∠ACE + ∠ACE + ∠ACB...
正确方法：
在△OBC中，∠BOC = 180° - (∠DBC + ∠ECB)
∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 60° - ∠ABD
∠ECB = ∠ACB + ∠ACE = 60° + ∠ACE = 60° + ∠ABD
∴ ∠BOC = 180° - (60° - ∠ABD + 60° + ∠ABD) = 180° - 120° = 60°
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形
∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD
即 ∠BAD = ∠CAE
在△ABD 和△ACE 中：
AB = AC
∠BAD = ∠CAE
AD = AE
∴ △ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ BD = CE
(2) 证 ∠BOC = 60°：
∵ △ABD ≌ △ACE
∴ ∠ABD = ∠ACE
∠BOC 是△BOC 的内角...不对
∠BOC 是△OBC 的内角，或利用外角
在△OBC 中，利用外角或三角形内角和
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB
= 180° - ∠ABD - (60° - ∠ACE)
∵ ∠ABD = ∠ACE
∴ ∠BOC = 180° - ∠ABD - 60° + ∠ABD = 180° - 60° = 120°？
修正：
实际上 ∠BOC 是△OBC 的内角
或看△OBE 的外角
∠BOC = ∠OBE + ∠OEB
由于计算复杂，使用另一方法：
∠BOC = ∠OBC + ∠OCB
其中 ∠OBC = ∠ABC - ∠ABD = 60° - ∠ABD
∠OCB = ∠ACE
∵ ∠ABD = ∠ACE
∴ ∠BOC = 60° - ∠ACE + ∠ACE + ∠ACB...
正确方法：
在△OBC中，∠BOC = 180° - (∠DBC + ∠ECB)
∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 60° - ∠ABD
∠ECB = ∠ACB + ∠ACE = 60° + ∠ACE = 60° + ∠ABD
∴ ∠BOC = 180° - (60° - ∠ABD + 60° + ∠ABD) = 180° - 120° = 60°
▼ 点击展开解析
例题 5-C
动态几何——动点与等腰三角形
在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12。点P从B出发沿BC向C移动，速度为2cm/s。当△ABP为等腰三角形时，求P的运动时间。
▶ 解析
设运动时间为 t 秒，则 BP = 2t
△ABP 为等腰三角形有三种情况：
情况1：AB = AP
AB = 10，∴ AP = 10
在等腰△ABP中，AB = AP
作 AQ ⊥ BP 于Q，则 BQ = QP = t
需要利用已知条件求...
实际上，因为 AB = 10，需要 AP = 10
用坐标或几何方法求解
情况2：AB = BP
BP = AB = 10
∴ 2t = 10，t = 5秒
情况3：AP = BP
AP = BP = 2t
在△ABP中，利用余弦定理或坐标法
作 AD ⊥ BC 于D，由三线合一 BD = 6
AD = √(AB² - BD²) = √(100 - 36) = 8
设 P 在 BC 上，DP = |6 - 2t|
AP² = AD² + DP² = 64 + (6 - 2t)²
BP = 2t
AP = BP → AP² = BP²
64 + (6 - 2t)² = (2t)²
64 + 36 - 24t + 4t² = 4t²
100 - 24t = 0
t = 25/6 秒
答案：t = 5秒 或 t = 25/6 秒（约4.17秒）
注：情况1 AB=AP 需要额外验证是否成立，通常也需讨论但可能无解或超出范围。
△ABP 为等腰三角形有三种情况：
情况1：AB = AP
AB = 10，∴ AP = 10
在等腰△ABP中，AB = AP
作 AQ ⊥ BP 于Q，则 BQ = QP = t
需要利用已知条件求...
实际上，因为 AB = 10，需要 AP = 10
用坐标或几何方法求解
情况2：AB = BP
BP = AB = 10
∴ 2t = 10，t = 5秒
情况3：AP = BP
AP = BP = 2t
在△ABP中，利用余弦定理或坐标法
作 AD ⊥ BC 于D，由三线合一 BD = 6
AD = √(AB² - BD²) = √(100 - 36) = 8
设 P 在 BC 上，DP = |6 - 2t|
AP² = AD² + DP² = 64 + (6 - 2t)²
BP = 2t
AP = BP → AP² = BP²
64 + (6 - 2t)² = (2t)²
64 + 36 - 24t + 4t² = 4t²
100 - 24t = 0
t = 25/6 秒
答案：t = 5秒 或 t = 25/6 秒（约4.17秒）
注：情况1 AB=AP 需要额外验证是否成立，通常也需讨论但可能无解或超出范围。
▼ 点击展开解析
Q1. 两个等边三角形"手拉手"模型中，连接对应顶点形成的线段关系是？
Q2. 在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高。下列结论不一定正确的是？
Q3. 等腰三角形腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角为？
▌ 公式档案 [综合提升]
等腰+全等
等腰条件→全等证明
手拉手模型
共顶点等腰→旋转全等
三线合一
高/中线/角平分线互推
动点问题
分类讨论+方程求解
辅助线策略
作底边上的高最常用