MOD-01
平移变换 Translation
几何变换科 · 基础级▌ 理论档案
定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
- 平移不改变图形的形状和大小
- 平移后，对应线段平行（或共线）且相等
- 对应角相等，对应点连线平行且相等
平移公式：点 P(x, y) 沿向量 (a, b) 平移后 → P'(x+a, y+b)
P'(x, y) = P(x₀ + a, y₀ + b)
例题 1-A
坐标平移
点 A(2, 3) 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，求 A' 的坐标。
▶ 解析
向右平移 4：x + 4 = 2 + 4 = 6；向下平移 2：y - 2 = 3 - 2 = 1。
∴ A' = (6, 1)
∴ A' = (6, 1)
例题 1-B
平移性质应用
△ABC 平移后得到 △DEF，已知 AB = 5cm，∠B = 40°，DE = ?，∠E = ?
▶ 解析
平移保持形状大小不变，对应边相等、对应角相等。
DE 对应 AB，∠E 对应 ∠B。
∴ DE = 5cm，∠E = 40°
DE 对应 AB，∠E 对应 ∠B。
∴ DE = 5cm，∠E = 40°
例题 1-C
平移距离计算
线段 MN 端点 M(1, 2)、N(4, 6)，平移后 M'(-1, 5)，求平移向量及 N' 坐标。
▶ 解析
平移向量 = M' - M = (-1-1, 5-2) = (-2, 3)
N' = N + 向量 = (4-2, 6+3) = (2, 9)
N' = N + 向量 = (4-2, 6+3) = (2, 9)
Q1. 点 P(-3, 4) 向左平移 2，向上平移 5，新坐标是？
Q2. 下列哪个不是平移的性质？
Q3. △ABC 平移到 △A'B'C'，AA' = 3cm，则 BB' = ?
▌ 公式档案 [平移]
平移向量
v→ = (a, b)
坐标变换
(x, y) → (x+a, y+b)
性质
∥ + = + ≅
MOD-02
旋转变换 Rotation
几何变换科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
- 旋转中心：旋转时固定不动的点（记作 O）
- 旋转角：转动的角度（记作 θ）
- 旋转方向：顺时针 / 逆时针
- 旋转不改变图形的形状和大小
- 对应点到旋转中心的距离相等
- 对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角
特殊旋转：
90° 旋转: (x,y)→(-y,x) | 180°: (x,y)→(-x,-y) | 270°: (x,y)→(y,-x)
例题 2-A
旋转中心判定
△ABC 旋转后得到 △A'B'C'，已知 A(1,1)→A'(1,1)，B(3,1)→B'(1,3)。求旋转中心和角度。
▶ 解析
A 不动 → A 是旋转中心 O(1,1)。
B→B'：向量 OB = (2,0)，OB' = (0,2)。
由 (2,0) 到 (0,2) 是逆时针旋转 90°。
B→B'：向量 OB = (2,0)，OB' = (0,2)。
由 (2,0) 到 (0,2) 是逆时针旋转 90°。
例题 2-B
旋转坐标计算
点 P(3, 0) 绕原点逆时针旋转 90°，求 P'。
▶ 解析
逆时针 90° 公式：(x,y) → (-y, x)
P(3, 0) → P' = (-0, 3) = (0, 3)
P(3, 0) → P' = (-0, 3) = (0, 3)
例题 2-C
复合旋转
点 Q(2, 3) 绕原点顺时针旋转 180°，再绕新位置逆时针旋转 90°，求最终坐标。
▶ 解析
第一步 180°: (2,3) → (-2,-3)
第二步 逆时针 90°: (-2,-3) → (3, -2) （用公式 (-y,x) 代入 y=-3, x=-2）
∴ 最终坐标 (3, -2)
第二步 逆时针 90°: (-2,-3) → (3, -2) （用公式 (-y,x) 代入 y=-3, x=-2）
∴ 最终坐标 (3, -2)
Q1. 点 (4, 0) 绕原点逆时针旋转 90° 后是？
Q2. 旋转 180° 相当于？
Q3. 等边三角形绕中心旋转多少度可与自身重合？
▌ 公式档案 [旋转]
旋转90°(逆)
(x, y) → (-y, x)
旋转180°
(x, y) → (-x, -y)
旋转270°(逆)
(x, y) → (y, -x)
MOD-03
翻折变换 Reflection
几何变换科 · 进阶级▌ 理论档案
定义：在平面内，将一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形运动称为翻折（轴对称）。
- 对称轴：折叠时的直线（记作 l）
- 翻折后，对应点到对称轴的距离相等
- 对称轴是对应点连线的垂直平分线
- 翻折不改变图形的形状和大小
常见对称轴翻折：
x轴: (x,y)→(x,-y) | y轴: (x,y)→(-x,y) | y=x: (x,y)→(y,x)
例题 3-A
轴对称坐标
点 A(3, -2) 关于 y 轴对称，求 A'；再关于 x 轴对称，求 A''。
▶ 解析
关于 y 轴：(x,y)→(-x,y) → A' = (-3, -2)
关于 x 轴：(x,y)→(x,-y) → A'' = (-3, 2)
关于 x 轴：(x,y)→(x,-y) → A'' = (-3, 2)
例题 3-B
对称轴方程
点 M(2, 5) 和 M'(-4, 5) 关于直线 l 对称，求 l 的方程。
▶ 解析
M 和 M' y 坐标相同，连线水平。
对称轴是 MM' 的垂直平分线，过中点 ((-4+2)/2, 5) = (-1, 5)，且垂直于水平线 → 竖直线。
∴ l: x = -1
对称轴是 MM' 的垂直平分线，过中点 ((-4+2)/2, 5) = (-1, 5)，且垂直于水平线 → 竖直线。
∴ l: x = -1
例题 3-C
翻折最短路径
点 A(1, 2) 和 B(5, 4) 在 x 轴同侧，在 x 轴上找一点 P 使 PA + PB 最短。
▶ 解析
翻折 A 关于 x 轴得 A'(1, -2)。
连接 A'B 交 x 轴于 P，此时 PA + PB = PA' + PB = A'B 最短。
A'B 斜率 = (4+2)/(5-1) = 1.5，方程 y+2 = 1.5(x-1)。
令 y=0: 2 = 1.5(x-1) → x = 1 + 4/3 = 7/3。
∴ P = (7/3, 0)
连接 A'B 交 x 轴于 P，此时 PA + PB = PA' + PB = A'B 最短。
A'B 斜率 = (4+2)/(5-1) = 1.5，方程 y+2 = 1.5(x-1)。
令 y=0: 2 = 1.5(x-1) → x = 1 + 4/3 = 7/3。
∴ P = (7/3, 0)
Q1. 点 (-2, 3) 关于原点对称的点是？
Q2. 关于直线 y = x 对称，(3, 7) 变为？
Q3. 下列图形中对称轴最多的是？
▌ 公式档案 [翻折]
关于 x 轴
(x, y) → (x, -y)
关于 y 轴
(x, y) → (-x, y)
关于 y=x
(x, y) → (y, x)
关于原点
(x, y) → (-x, -y)
MOD-04
综合变换 Composite
几何变换科 · 高级▌ 理论档案
复合变换：多种基本变换的连续应用。变换顺序很重要，一般不满足交换律。
- 先平移后旋转 ≠ 先旋转后平移（除非绕原点）
- 两次平移 = 一次平移（向量相加）
- 两次翻折：若对称轴平行 = 平移；若相交 = 旋转
- 识别复合变换中的"不变量"是解题关键
例题 4-A
复合变换识别
△ABC 先向右平移 3，再向上平移 2，最后绕新位置的 A' 逆时针旋转 90°。已知 A(0,0)、B(2,0)、C(0,3)，求最终坐标。
▶ 解析
平移后：A'(3,2)、B'(5,2)、C'(3,5)
绕 A'(3,2) 逆时针 90°：向量法，对每点减 A' 再旋转再加回。
B'-A' = (2,0) → (0,2) → B'' = (3, 4)
C'-A' = (0,3) → (-3,0) → C'' = (0, 2)
∴ 最终：A''(3, 2)、B''(3, 4)、C''(0, 2)
绕 A'(3,2) 逆时针 90°：向量法，对每点减 A' 再旋转再加回。
B'-A' = (2,0) → (0,2) → B'' = (3, 4)
C'-A' = (0,3) → (-3,0) → C'' = (0, 2)
∴ 最终：A''(3, 2)、B''(3, 4)、C''(0, 2)
例题 4-B
变换分解
△ABC 变换后到 △A'B'C'，已知 A(1,1)→A'(2,3)，B(3,1)→B'(4,5)。判断是哪种单一变换。
▶ 解析
向量 AA' = (1, 2)，BB' = (1, 4)。
不是平移（向量不等）。检验旋转：AB = (2,0)，A'B' = (2,2)。长度 |AB|=2，|A'B'|=2√2，不等。
可能是先平移再旋转的复合变换，或存在缩放。
需更多信息确定，但可确定不是单一基本变换。
不是平移（向量不等）。检验旋转：AB = (2,0)，A'B' = (2,2)。长度 |AB|=2，|A'B'|=2√2，不等。
可能是先平移再旋转的复合变换，或存在缩放。
需更多信息确定，但可确定不是单一基本变换。
例题 4-C
最短路径复合
长方形场地 ABCD 中，A(0,0)、B(4,0)、C(4,3)、D(0,3)。从 A 出发到 BC 边再到 CD 边最后到 D，求最短路径长度。
▶ 解析
连续翻折法：将 ABCD 沿 BC 翻折得 A'BCD'，再沿 C'D'（原 CD 延长）翻折。
A 经两次翻折后位置 A'' = (8, 6)。
最短路径 = A 到 A'' 直线距离 = √(8²+6²) = 10。
（这是台球反射/光的反射原理）
A 经两次翻折后位置 A'' = (8, 6)。
最短路径 = A 到 A'' 直线距离 = √(8²+6²) = 10。
（这是台球反射/光的反射原理）
Q1. 先旋转 90° 再平移，与先平移再旋转 90° 结果？
Q2. 两次关于平行直线翻折，等价于？
Q3. 正方形绕中心旋转 90° 后与自身重合，这是？
▌ 公式档案 [综合]
平移复合
T(a,b) + T(c,d) = T(a+c, b+d)
旋转复合
R(θ₁) + R(θ₂) = R(θ₁+θ₂)
翻折+翻折
平行轴=平移 / 相交轴=旋转
MOD-05
中心对称 Central Symmetry
几何变换科 · 高级▌ 理论档案
定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。
- 对称中心：旋转 180° 的固定点
- 中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分
- 中心对称图形：自身绕某点旋转 180° 后与自身重合
- 平行四边形、圆等都是中心对称图形
例题 5-A
中心对称坐标
点 A(4, -3) 关于原点 O 中心对称的点 A' 是？若关于点 M(1, 2) 中心对称呢？
▶ 解析
关于原点：A' = (-4, 3)。
关于 M(1,2)：M 是 AA' 中点 → (4+x')/2=1, (-3+y')/2=2
x' = 2-4 = -2, y' = 4+3 = 7。
∴ A' = (-2, 7)
关于 M(1,2)：M 是 AA' 中点 → (4+x')/2=1, (-3+y')/2=2
x' = 2-4 = -2, y' = 4+3 = 7。
∴ A' = (-2, 7)
例题 5-B
中心对称图形判定
下列图形中哪些一定是中心对称图形？①等边三角形 ②矩形 ③菱形 ④梯形 ⑤圆
▶ 解析
中心对称图形需旋转 180° 后与自身重合：
②矩形（对角线交点）✓ ③菱形 ✓ ⑤圆（圆心）✓
①等边三角形旋转 180° 不重合 ✗ ④一般梯形 ✗
∴ ②③⑤
②矩形（对角线交点）✓ ③菱形 ✓ ⑤圆（圆心）✓
①等边三角形旋转 180° 不重合 ✗ ④一般梯形 ✗
∴ ②③⑤
例题 5-C
对称中心求法
△ABC 与 △A'B'C' 关于某点中心对称，A(1,2)、A'(3,6)、B(2,1)。求对称中心和 B'。
▶ 解析
对称中心 O = AA' 中点 = ((1+3)/2, (2+6)/2) = (2, 4)
B'：O 是 BB' 中点 → B' = (2×2-2, 2×4-1) = (2, 7)
B'：O 是 BB' 中点 → B' = (2×2-2, 2×4-1) = (2, 7)
Q1. 下列哪个不是中心对称图形？
Q2. 点 (5, -1) 关于 (2, 3) 中心对称的点是？
Q3. 正六边形的旋转对称角（最小）是？
▌ 公式档案 [中心对称]
关于原点
(x, y) → (-x, -y)
关于点 (a,b)
(x, y) → (2a-x, 2b-y)
中心对称图形
R(180°) ≡ 自身
← 上一单元
下一章：相交线与平行线 →